WEKTOR WYPADKOWY Wektor wypadowy wynikająca z dwóch wektorów składowych ma współrzędne wynikające z sumy współrzędnych wektorów składowych. Oznacza to, że jeżeli mamy: $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ gdzie: $\overrightarrow{c}$ - wektor wypadkowy wektorów składowych: $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$. Zatem jeżeli wektory składowe mają współrzędne: $\overrightarrow{a}=[x_a,y_a,z_a]$ $\overrightarrow{b}=\left[x_a,y_a,z_a\right]$ To współrzędne wektora wypadkowego wynoszą: $\overrightarrow{c}=\left[x_a+x_b,y_a+y_b,z_a+z_b\right]$

 

Dane: 

$h=10\text{km}=10\cdot 10^3\text{m}=10^4\text{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ promień Ziemi: $R_Z=6,37\cdot 10^6\mathrm{m}$,

▶ kąt nachylenia Ziemi względem Słońca: $\psi =23,5^{\circ }$,

▶ szerokość geograficzna dla Warszawy: $\phi =52^{\circ }$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$x_a=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie drogi, jaką w atmosferze przebywa światło w słoneczne południe najdłuższego dnia w roku.  W południe słoneczne najdłuższego dnia w roku Słońce znajduje się w zwrotniku Raka. Położenie Ziemi względem Słońca w ciągu roku możemy przedstawić na następującym schemacie:

Rozważania przeprowadźmy dla przesilenia letniego oraz na początku dla dowolnej szerokości geograficznej $\phi$. Wiemy, że nachylenie osi Ziemi względem Słońca wynosi $\psi$. Wykonajmy schematyczny rysunek, na którym symbolicznie oznaczymy promienie słoneczne padające na Ziemię tego dnia w samo południe. Oznaczmy na tym rysunku również kąty i potrzebne nam odległości:

gdzie:

$R$ - promień Ziemi, 

$h$ - grubość atmosfery, 

$x_a$ - droga przebyta przez promienie Słoneczne w atmosferze (szukana),

$\psi$ - kąt nachylenia Ziemi względem Słońca, 

$\phi$ - szerokość geograficzna, 

$\alpha$ - kąt pomiędzy daną szerokością geograficzną, a padającymi promieniami świetlnymi,

$\beta$ - kąt pomiędzy daną szerokością geograficzną a osią nachylenia Ziemi względem Słońca. 

Jeżeli założymy, że długości $h$ i $x_a$ tworzą trójkąt prostokątny to zgodnie z zależnościami trygonometrycznymi spełniona jest zależność:

$\cos \alpha =\frac{h}{x_a}$

Wówczas naszą szukaną możemy przedstawić wzorem:

$\cos \alpha =\frac{h}{x_a}|\cdot x_a$

$x_a\cos \alpha =h|:\cos \alpha$

$x_a=\frac{h}{\cos \alpha }$

Z wykonanego rysunku możemy zauważyć:

$\psi +\beta +\alpha =90^{\circ }$

$\beta +\phi =90^{\circ }$

Oznacza to, że kąt $\beta$ możemy przedstawić zależnością:

$\beta =90^{\circ }-\phi$

Oznacza to, że kąt $\alpha$ będzie miał miarę:

$\psi +\beta +\alpha =90^{\circ }$ 

$\psi +90^{\circ }-\phi +\alpha =90^{\circ }|+\phi -\psi -90^{\circ }$

$\alpha =\phi -\psi$

Wówczas drogę promieni Słonecznych w atmosferze ziemskiej przedstawimy wzorem:

PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem: $F_{\text{g}}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$ gdzie: $F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji, $G$  - stała grawitacji, $m_1$ i $m_2$  - masy oddziałujących ze sobą ciał, $r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

$x_a=\frac{h}{\cos \alpha }$

$x_a=\frac{h}{\cos \left(\phi -\psi \right)}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_a=\frac{10\text{km}}{\cos \left(52^{\circ }-23,5^2\right)}=\frac{10\text{km}}{\cos 28,5}\approx$

$=\frac{10\text{km}}{0,8788}\approx 11\text{km}$

Odpowiedź: Promienie słoneczne pokonują w tym przypadku w atmosferze ziemskiej drogę równą około 11 km.