Naszym zadaniem jest wykazanie, że wartość pierwszej prędkości kosmicznej można wyrazić wzorem $v=\sqrt{g{R}_Z}$.

Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką należałoby nadać ciału w kierunku poziomym, aby obiegało ono ciało niebieskie po orbicie kołowej w minimalnej odległości od jego powierzchni.  Pierwszą prędkość kosmiczną przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v_I=\sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$  

gdzie:

$v_I$ - wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla danego ciała niebieskiego,

$G$ - stała grawitacji,

$M$ - masa ciała wytwarzającego pole grawitacyjne,

$R$ - promień ciała niebieskiego.

Zauważmy, że dla ciała poruszającego wokół Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna będzie miała postać:

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z}}$  

gdzie:

$v$ - wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Ziemi,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$R_Z$ - promień Ziemi.

Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne to przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, na które działa wyłącznie siła grawitacji. Przedstawiamy je za pomocą wzoru:

$a_g=\frac{G\cdot M}{r^2}$  

gdzie:

$a_g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$r$ - odległość od środka ciała niebieskiego, w jakiej badamy przyspieszenie. 

Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi będzie zatem miało wartość:

$a_g=\frac{G\cdot M_Z}{R_Z^2}$  

 Wówczas otrzymujemy, że pierwszą prędkość kosmiczną dla Ziemi przedstawiamy wzorem:

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z}}$  

$v=\sqrt{\underset{g}{\underbrace{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z^2}}}\cdot R_Z}$  

$v=\sqrt{g\cdot R_Z}$  

Co należało wykazać.