Dane:

$l=2\mathrm{m}$  

$m=0,5\mathrm{kg}$  

$M=2\mathrm{kg}$   

$T_1=10\mathrm{s}$  

 

$1.$  

Szukane:

$I=?$

Rozwiązanie:

Moment bezwładności układu ciał obliczamy jako sumę poszczególnych momentów bezwładności, więc w naszym przypadku możemy zapisać:

$I=I_m+I_p$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności pręta z małpką,

$I_m$ - moment bezwładności małpki,

$I_p$ - moment bezwładności pręta.

Przyjmujemy, że rozmiary małpki są niewielkie w stosunku do długości pręta i jej moment bezwładności jest równy momentowi bezwładności punktu materialnego, zatem:

$I_m=M{R}^2$

gdzie:

$M$ - masa małpki,

$R$ - odległość małpki od osi obrotu.

Małpka siedzi w odległości od osi obrotu równej połowie długości pręta, zatem:

$R=\frac{l}{2}$

gdzie:

$l$ - długość pręta.

Moment bezwładności małpki wyrazimy więc jako:

$I_m=M{R}^2$

$I_m=M{\left(\frac{l}{2}\right)}^2$  

$I_m=M\frac{1}{4}{l}^2$  

$I_m=\frac{1}{4}M{l}^2$  

Wiemy, że moment bezwładności pręta wynosi: 

$I_p=\frac{1}{12}m{l}^2$  

gdzie:

$m$ - masa pręta.

Z tego wynika, że moment bezwładności układu małpki z prętem wynosi:

$I=I_m+I_p$  

$I=\frac{1}{4}M{l}^2+\frac{1}{12}m{l}^2$

$I=\frac{1}{12}\cdot 3M{l}^2+\frac{1}{12}m{l}^2$

$I=\frac{3M{l}^2+m{l}^2}{12}$

$I=\frac{\left(3M+m\right)l^2}{12}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=\frac{\left(3\cdot 2\mathrm{kg}+0,5\mathrm{kg}\right)\cdot {\left(2\mathrm{m}\right)}^2}{12}=\frac{\left(6\mathrm{kg}+0,5\mathrm{kg}\right)\cdot 4\mathrm{m}{}^2}{12}=$  

$=\frac{6,5\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}{}^2}{12}=\frac{26\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2}{12}=\frac{26}{12}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2=\frac{13}{6}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2$

Odpowiedź: Moment bezwładności pręta z małpką ma wartość 13/6 kg⋅m².

 

$2.$  

 Uzasadnienie: 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że początkowy moment bezwładności układu małpka - pręt wynosił:

$I_1=\frac{13}{6}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2$  

gdzie:

$I_1$ - początkowy moment bezwładności.

Zauważmy, że kiedy małpka zmieniła swoje położenie zmienił się moment bezwładności układu małpka - pręt. Skoro małpka przeszła na oś obrotu pręta, to jej odległość od osi obrotu była zerowa i moment bezwładności układu był równy momentowi bezwładności samego pręta, zatem wynosił:

$I_2=\frac{1}{12}m{l}^2$  

gdzie:

$I_2$ - moment bezwładności układu po przemieszczeniu się małpki,

$m$ - masa pręta,

$l$ - długość pręta.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_2=\frac{1}{12}\cdot 0,5\mathrm{kg}\cdot {\left(2\mathrm{m}\right)}^2=\frac{1}{12}\cdot 0,5\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}{}^2=$  

$=\frac{2}{12}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2=\frac{1}{6}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}{}^2$

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$  

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu bryły sztywnej,

$I$ - moment bezwładności,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej.

Z tego wynika, że początkowy i końcowy moment pędu układu ma postać:

$L_1=I_1{\omega }_1$  

$L_2=I_2{\omega }_2$  

gdzie:

$L_1$ - wartość początkowego momentu pędu,

${\omega }_1$ - wartość początkowej prędkości kątowej,

$L_2$ - wartość momentu pędu po przemieszczeniu się małpki,

${\omega }_2$ - wartość prędkości kątowej po przemieszczeniu się małpki.

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_2=L_1$  

$I_2{\omega }_2=I_1{\omega }_1\mid :I_2$  

${\omega }_2=\frac{I_1}{I_2}{\omega }_1$  

${\omega }_2=\frac{\frac{13}{\sout{6}}\sout{kg\cdot m^2}}{\frac{1}{\sout{6}}\sout{kg\cdot m^2}}\cdot {\omega }_1$  

${\omega }_2=13{\omega }_1$  

 Odpowiedź: 

Wartość prędkości kątowej układu wzrosła 13 razy, co zostało spowodowane zmniejszeniem się momentu bezwładności. Wzrost wartości prędkości kątowej jest równoznaczny ze wzrostem częstotliwości obracającego się układu, a zatem układ wirował szybciej.

 

$3.$  

Szukane:

$T_2=?$

Rozwiązanie:

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

${\omega }_2=13{\omega }_1$  

gdzie:

${\omega }_1$ - wartość początkowej prędkości kątowej,

${\omega }_2$ - wartość prędkości kątowej po przemieszczeniu się małpki.

Wartość prędkości kątowej wyrażamy za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres obrotu.

Z tego wynika, że wartości prędkości kątowych układu na początku i na końcu ruchu małpki możemy przedstawić wzorami:

${\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1}$  

${\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2}$  

gdzie:

$T_1$ - okres obrotu pręta z małpką siedzącą na jego końcu,

$T_2$ - okres obrotu pręta z małpką siedzącą na środku.

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na okres obrotu pręta z małpką siedzącą na środku:

${\omega }_2=13{\omega }_1$  

$\frac{2\pi }{T_2}=13\frac{2\pi }{T_1}\mid :2\pi$  

$\frac{1}{T_2}=\frac{13}{T_1}\mid \cdot T_1{T}_2$  

$T_1=13T_2\mid :13$  

$\frac{T_1}{13}=T_2$  

$T_2=\frac{T_1}{13}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_2=\frac{10\mathrm{s}}{13}=\frac{10}{13}\mathrm{s}$  

Odpowiedź: Okres obrotu pręta z małpką siedzącą na środku wynosi 10/13 s.