Dane:

$N=20$

$l=4\mathrm{m}$  

$a=10\mathrm{cm}=0,1\mathrm{m}$  

${\rho }_w=1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$  

$V_z=0,6V$

 

$1.$  

A. Zdanie jest PRAWDZIWE. Aby tratwa nie tonęła, siła ciężkości musi być równoważona przez siłę wyporu. Siła wyporu jest wprost proporcjonalna do gęstości cieczy, w której pływa ciało oraz objętości zanurzonej części ciała. Oznacza to, że jeśli gęstość cieczy się zwiększa, to objętość zanurzonej części tratwy musi być mniejsza, aby wartość siły pozostała niezmieniona (czyli równa wartości siły ciężkości).

B. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ wartość siły wyporu jest taka sama, jak wartość siły ciężkości (siły te się równoważą). Jeżeli gęstość cieczy byłaby mniejsza, to głębokość zanurzenia tratwy byłaby proporcjonalnie większa, a w efekcie wartość siły ciężkości pozostałaby niezmieniona.

C. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ głębokość zanurzenia nie zależy od objętości i masy, tylko gęstości substancji, z jakiej zbudowane jest ciało oraz gęstości cieczy, w jakiej to ciało jest zanurzone.

 

$2.$  

Dane:

$M=75\mathrm{kg}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$n=?$

Rozwiązanie:

Dla całkowicie zanurzonej tratwy spełnione jest równanie:

$F_g=F_w$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości tratwy wraz z wędkarzami,

$F_w$ - wartość siły wyporu działającej na całkowicie zanurzoną tratwę.

Na ciężar tratwy składa się ciężar belek, z których jest ona zbudowana oraz ciężar wszystkich wędkarzy. Możemy zatem zapisać:

$F_g=\left(m+nM\right)g$

gdzie:

$m$ - masa tratwy,

$n$ - liczba wędkarzy,

$M$ - masa jednego wędkarza,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wartość siły wyporu działającej na całkowicie zanurzoną tratwę przedstawimy jako:

$F_w={\rho }_{w}gV$

gdzie:

${\rho }_w$ - gęstość wody,

$V$ - objętość tratwy.

Tratwa składa się z belek w kształcie prostopadłościanów. Objętość prostopadłościanu to iloczyn pola powierzchni przekroju, które jest kwadratem i długości, zatem możemy zapisać:

$V=Nl{a}^2$

gdzie:

$N$ - liczba belek, z których zbudowana jest tratwa,

$l$ - długość pojedynczej belki,

$a$ - długość krawędzi przekroju.

Korzystając z powyższych wzorów możemy zapisać:

$F_g=F_w$

$\left(m+nM\right)\cancel{g}={\rho }_w\cancel{g}V$

$m+nM={\rho }_{w}V|-m$

$nM={\rho }_{w}V-m|:M$

$n=\frac{{\rho }_{w}V-m}{M}$

$n=\frac{{\rho }_{w}Nl{a}^2-m}{M}$

W powyższym równaniu nie znamy masy tratwy. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z faktu, że znamy jej zanurzenie przy braku pasażerów. Kiedy tratwa unosi się na wodzie bez wędkarzy, zanurzona jest tylko częściowo, a działające na nią siły się równoważą, dlatego możemy zapisać:

$F_{gt}=F_{wt}$

gdzie:

$F_{gt}$ - wartość siły ciężkości działającej na tratwę bez wędkarzy,

$F_{wt}$ - wartość siły wyporu działającej na tratwę bez wędkarzy.

Wartość ciężaru tratwy jest równa:

$F_{gt}=mg$

Natomiast siła wyporu ma w tym przypadku wartość:

$F_{wt}={\rho }_{w}g{V}_z$

gdzie:

$V_z$ - objętość zanurzonej części tratwy.

Z treści zadania wiemy, że zanurzone jest 60% objętości tratwy, zatem:

$F_{wt}={\rho }_{w}g\cdot 0,6V$

Wyznaczamy wzór na masę tratwy:

$F_{gt}=F_{wt}$

$m\cancel{g}=0,6{\rho }_w\cancel{g}V$

$m=0,6{\rho }_{w}V$

$m=0,6{\rho }_{w}Nl{a}^2$

Wstawiamy wyznaczony wzór do wyrażenia na liczbę wędkarzy:

$n=\frac{{\rho }_{w}Nl{a}^2-m}{M}$

$n=\frac{{\rho }_{w}Nl{a}^2-0,6{\rho }_{w}Nl{a}^2}{M}$

$n=\frac{0,4{\rho }_{w}Nl{a}^2}{M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{0,4\cdot 1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\cdot 20\cdot 4\mathrm{m}\cdot {\left(0,1\mathrm{m}\right)}^2}{75\mathrm{kg}}=$  

$=\frac{8\cdot 1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\cdot 4\mathrm{m}\cdot 0,01{\mathrm{m}}^2}{75\mathrm{kg}}=$

$=\frac{8\cdot 1000\frac{\mathrm{kg}}{\cancel{{\mathrm{m}}^3}}\cdot 0,04\cancel{{\mathrm{m}}^3}}{75\mathrm{kg}}=$

$=\frac{320\cancel{\mathrm{kg}}}{75\cancel{\mathrm{kg}}}\approx 4,27\approx 4$

Powyższy wynik mówi nam, że tratwa będzie całkowicie zanurzona, kiedy zostanie obciążona masą odpowiadającą więcej niż czterem, ale mniej niż pięciu wędkarzom. Oznacza to, że pomieści ona tylko czterech wędkarzy.

Odpowiedź: Na tratwie zmieści się maksymalnie 4 wędkarzy.