Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest ustalenie, która z dwóch motorówek szybciej pokona trasę z przystani A do B i z powrotem. 

• Pierwsza motorówka, płynąca po jeziorze, porusza się w obie strony z taką samą szybkością $v$.
• Druga motorówka, płynąca po rzece, porusza się względem wody z szybkością $v$, natomiast woda porusza się względem lądu z szybkością $u$. Oznacza to, że prędkość motorówki względem brzegu ma inną wartość, gdy płynie ona z prądem, a inną, gdy płynie pod prąd.

Aby odpowiedzieć na pytanie, musimy wyprowadzić i porównać wzory na czas ruchu każdej z motorówek. Pierwsza motorówka porusza się cały czas z tą samą szybkością. Czas ruchu w ruchu jednostajnym obliczamy korzystając z wzoru:

$t_1=\frac{s}{v}$

gdzie:

$t_1$ - czas, po którym pierwsza motorówka wróci do przystani,

$s$ - droga, którą pokonuje motorówka,

$v$ - szybkość ruchu motorówki.

Ruch drugiej motorówki musimy podzielić na dwa etapy - w pierwszym etapie motorówka płynie z prądem z przystani A do B, a w drugim zawraca i płynie pod prąd z przystani B do A. Całkowity czas trwania ruchu drugiej motorówki wyrazimy jako:

$t_2=t_{AB}+t_{BA}$

gdzie:

$t_2$ - czas, po którym druga motorówka wróci do przystani,

$t_{AB}$ - czas podróży z prądem,

$t_{BA}$ - czas podróży pod prąd.

Kiedy motorówka płynie z prądem, jej prędkość jest zwrócona w tę samą stronę, co prędkość nurtu rzeki. Oznacza to, że szybkość wypadkowa motorówki względem lądu będzie stanowić sumę szybkości motorówki względem wody i wody względem lądu. Wówczas czas ruchu motorówki przedstawimy jako:

$t_{AB}=\frac{s_{AB}}{v+u}$

gdzie:

$s_{AB}$ - droga, jaką motorówka pokonała płynąc z prądem z przystani A do B,

$u$ - szybkość nurtu rzeki.

Odległość między przystanią A i B jest równa połowie całkowitej drogi, którą ma do pokonania motorówka:

$s_{AB}=\frac{1}{2}s$

Zatem:

$t_{AB}=\frac{\frac{1}{2}s}{v+u}$

$t_{AB}=\frac{s}{2\left(v+u\right)}$

Kiedy motorówka płynie pod prąd, jej prędkość jest zwrócona w przeciwną stronę, niż prędkość nurtu rzeki. Oznacza to, że szybkość wypadkowa motorówki względem lądu będzie stanowić różnicę szybkości motorówki względem wody i wody względem lądu. Wówczas czas ruchu motorówki przedstawimy jako:

$t_{BA}=\frac{s_{BA}}{v-u}$

gdzie:

$s_{BA}$ - droga, jaką motorówka pokonała płynąc pod prąd z przystani B do A.

Odległość, którą pokonuje motorówka w drodze powrotnej również stanowi połowę całej trasy:

$s_{BA}=\frac{1}{2}s$

Zatem:

$t_{BA}=\frac{\frac{1}{2}s}{v-u}$

$t_{BA}=\frac{s}{2\left(v-u\right)}$

Całkowity czas ruchu motorówki poruszającej się po rzece zapiszemy jako:

$t_2=t_{AB}+t_{BA}$

$t_2=\frac{s}{2\left(v+u\right)}+\frac{s}{2\left(v-u\right)}$

$t_2=\frac{s\left(v-u\right)}{2\left(v+u\right)\left(v-u\right)}+\frac{s\left(v+u\right)}{2\left(v-u\right)\left(v+u\right)}$

$t_2=\frac{s\left(v-u\right)+s\left(v+u\right)}{2\left(v+u\right)\left(v-u\right)}$

$t_2=\frac{s(v-u+v+u)}{2\left(v^2-u^2\right)}$

$t_2=\frac{\cancel{2}sv}{\cancel{2}\left(v^2-u^2\right)}$

$t_2=\frac{sv}{v^2-u^2}$

Otrzymaliśmy wyrażenia opisujące czas, po jakim każda z motorówek powróci do przystani A. Musimy jeszcze ustalić, które z tych wyrażeń przyjmuje większą wartość. Załóżmy, że czas podróży motorówki płynącej po jeziorze jest krótszy i sprawdźmy, czy jest to prawda:

$t_1<t_2$

$\frac{s}{v}<\frac{sv}{v^2-u^2}|:s$

$\frac{1}{v}<\frac{v}{v^2-u^2}|\cdot v$

$1<\frac{v^2}{v^2-u^2}$

Powyższy ułamek jest większy od jedynki, jeśli jego licznik jest większy od mianownika:

$v^2>v^2-u^2$

Powyższe wyrażenie jest zawsze prawdziwe, co oznacza, że nasze początkowe założenie było poprawne. Wykazaliśmy więc, że czas $t_1$ jest mniejszy niż czas $t_2$, czyli motorówka płynąca po jeziorze szybciej pokona całą trasę.

 Odpowiedź: 

Do przystani A wcześniej powróci motorówka płynąca po jeziorze.