Dane:

$n_{\text{po}}=1$

$n_{\text{pr}}=1,5$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartości prędkości światła w próżni: $c=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

 

$1.$  

 Uzasadnienie: 

Naszym celem jest naszkicowanie dalszego biegu promienia. Wiemy, że promień pada prostopadle na powierzchnię pryzmatu, więc wchodzi w niego bez załamania. W treści zadania podano, że promień ulega następnie całkowitemu odbiciu, więc - zgodnie z prawem odbicia - kąt odbicia ($\alpha$) będzie równy kątowi padania. Następnie promień opuszcza pryzmat przez jego podstawę. Korzystając z tych informacji, możemy wykonać odpowiedni rysunek.

 Odpowiedź: 

 

$2.$  

Szukane:

$\alpha =?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenia kąta padania promienia na prawą ściankę pryzmatu. Wiemy, że pryzmat jest trójkątem równobocznym, więc wszystkie kąty wewnątrz pryzmatu mają wartość $60^{\circ }$. Wiemy też, że promień pada prostopadle na powierzchnie pryzmatu i przechodzi przez niego bez załamania. Korzystając z tych informacji możemy wykonać rysunek:

Jak widzimy, promień tworzy z górną krawędzią pryzmatu trójkąt prostokątny. Suma kątów w trójkącie musi wynosić $180^{\circ }$, więc możemy zapisać:

$180^{\circ }=60^{\circ }+90^{\circ }+\gamma$

gdzie:

$\gamma$ - kąt między promieniem a prawą ścianą pryzmatu.

Możemy uprościć i przekształcić powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na kąt $\gamma$:

$180^{\circ }=150^{\circ }+\gamma |-150^{\circ }$

$30^{\circ }=\gamma$

$\gamma =30^{\circ }$ 

Wiemy, że kąt padania jest kątem między promieniem a prostą prostopadłą do ściany pryzmatu, więc możemy zapisać:

$90^{\circ }=\alpha +\gamma$

Przekształcamy powyższe równanie, aby otrzymać wzór na kąt padania:

$90^{\circ }=\alpha +\gamma |-\gamma$

$90^{\circ }-\gamma =\alpha$

$\alpha =90^{\circ }-\gamma$

Podstawiając wartości liczbowe:

$\alpha =90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$

Odpowiedź: Kąt padania promienia na prawą ścianę pryzmatu wynosi $60^{\circ }$

 

$3.$

Szukane:

$v_{\text{pr}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie wartości prędkości światła w pryzmacie. Zrobimy to korzystając z prawa załamania (prawo Snella). Zgodnie z tym prawem stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt padania,

$\beta$ - kąt załamania,

$v_1$ - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_2$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Znamy współczynniki załamania dla obu ośrodków oraz prędkość światła w powietrzu w związku z tym interesuje nas tylko ta część równania:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$

Przepisujemy powyższe równanie dla naszego zadania:

$\frac{c}{v_{\text{pr}}}=\frac{n_{\text{pr}}}{n_{\text{po}}}$

gdzie:

$c$ - wartość prędkości światła w próżni,

$v_{\text{pr}}$ - wartość prędkości światła w pryzmacie,

$n_{\text{pr}}$ - współczynnik załamania pryzmatu,

$n_{\text{po}}$ - współczynnik załamania powietrza.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na wartość prędkości światła w pryzmacie:

$\frac{c}{v_{\text{pr}}}=\frac{n_{\text{pr}}}{n_{\text{po}}}|\cdot n_{\text{po}}\cdot v_{\text{pr}}$

$c{n}_{\text{po}}=v_{\text{pr}}{n}_{\text{pr}}|:n_{\text{pr}}$

$c\frac{n_{\text{po}}}{n_{\text{pr}}}=v_{\text{pr}}$

$v_{\text{pr}}=c\frac{n_{\text{po}}}{n_{\text{pr}}}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$v_{\text{pr}}=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\frac{1}{1,5}=2\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości światła w pryzmacie wynosi $2\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$.