Uzasadnienie: 

Naszym celem jest stwierdzenie czy promień wyjdzie poza powierzchnię BC, czy może się całkowicie od niej odbije. Aby to zrobić msuimy skorzystać z prawa załamania Snelliusa:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_2}{n_1}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt padania,

$\beta$ - kąt załamania,

$n_1$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Powyższe prawo możemy zapisać gdy laser pada na powierzchnię AC prymatu. Wówczas równanie ma postać:

$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{n_{\text{pryz}}}{n_{\text{pow}}}$

gdzie:

${\alpha }_1$ - kąt padania lasera na powierzchnię AC,

${\alpha }_2$ - kąt załamania lasera,

$n_{\text{pryz}}$ - współczynnik załamania pryzmatu,

$n_{\text{pow}}$ - współczynnik załamania powietrza.

Wiemy, że współczynnik załamania powietrza wynosi 1, więc możemy zapisać:

$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=n_{\text{pryz}}$

$n_{\text{pryz}}=\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}$

Wiemy, że prawo Snelliusa aplikuje się również gdy laser będzie padał pod kątem granicznym. Załóżmy, że laser pada na powierzchnię BC pod kątem granicznym. Wówczas kąta załamania ma wartość $90^{\circ }$. Możemy zapisać równanie załamania dla tej sytuacji:

$\frac{\sin {\alpha }_{\text{gr}}}{\sin \left(90^{\circ }\right)}=\frac{n_{\text{pow}}}{n_{\text{pryz}}}$

Podstawiając wartość sinusa oraz współczynnika załamania powietrza:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{1}{n_{\text{pryz}}}$

Podstawiając otrzymany wzór na współczynnik załamania pryzmatu:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{1}{\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}}$

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{\sin {\alpha }_2}{\sin {\alpha }_1}$

Wiemy, że wartość sinusa obliczamy ze wzoru:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

gdzie:

$a$ - przyprostokątna naprzeciw kąta alfa,

$c$ - przeciwprostokątna.

Wartość przeciwprostokątnej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

gdzie:

$b$ - przyprostokątna przy kącie alfa.

Wówczas wzór na sinus możemy zapisać w postaci:

$\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Wartości przyprostokątnych możemy odczytać bezpośrednio z rysunku. Poszczególne odcinki, które będą nam potrzebne do obliczenia odpowiednich sinusów, zaznaczono czerwoną, przerywaną linią.

Stosując wzór na sinus oraz odcinki zaznaczone na rysunku możemy zapisać:

$\sin {\alpha }_1=\frac{y_1}{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}$

$\sin {\alpha }_2=\frac{y_2}{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}$

Podstawiając te wzory na sinus do wzoru na sinus kąta granicznego:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{\frac{y_2}{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}{\frac{y_1}{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}$

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{y_2}{y_1}\cdot \sqrt{\frac{y_1^2+x_1^2}{y_2^2+x_2^2}}$

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x_1=2\text{kratki}$, $y_1=1,6\text{kratki}$, $x_2=5\text{kratek}$ oraz $y_2=2\text{kratki}$.

Podstawiając te wartości do wzoru:

$\sin {\alpha }_{\text{gr}}=\frac{2\cancel{\text{kratki}}}{1,6\cancel{\text{kratki}}}\sqrt{\frac{{\left(1,6\text{kratki}\right)}^2+{\left(2\text{kratki}\right)}^2}{{\left(2\text{kratki}\right)}^2+{\left(5\text{kratki}\right)}^2}}=$

$=1,25\sqrt{\frac{2,56{\text{kratki}}^2+4{\text{kratki}}^2}{4{\text{kratki}}^2+25{\text{kratki}}^2}}=$

$=1,25\sqrt{\frac{6,56\cancel{{\text{kratki}}^2}}{29\cancel{{\text{kratki}}^2}}}\approx$

$\approx 1,25\sqrt{0,226}\approx 1,25\cdot 0,476=$

$=0,595$

Z tabeli odczytujemy kąt odpowiadający tej wartości funkcji i otrzymujemy, że:

${\alpha }_{\text{gr}}\approx 37^{\circ }$

Jeśli kąt ${\alpha }_3$ ma większa wartość od tego kąta wówczas dojdzie do całkowitego wewnętrznego odbicia. 

Wartość tego kąta możemy wyznaczyć, korzystając z geometrii układu. Wiemy, że trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym, więc wszystkie jego kąty mają wartość $60^{\circ }$. Korzystając z tej informacji, możemy wykonać rysunek:

W celu wyznaczenie wartości kąta ${\alpha }_3$skupiamy się na trójkącie CDE. Wiemy, że w każdym trójkącie suma katów musi dać $180^{\circ }$. Korzystając z tej informacji oraz kątów zaznaczonych na rysunku możemy zapisać:

$180^{\circ }=60^{\circ }+90^{\circ }-{\alpha }_2+90^{\circ }-{\alpha }_3$

$180^{\circ }=240^{\circ }-{\alpha }_2-{\alpha }_4$

Chcemy obliczyć ${\alpha }_3$, więc przekształcamy powyższe równanie:

$180^{\circ }=240^{\circ }-{\alpha }_2-{\alpha }_3|+{\alpha }_3$

$180^{\circ }+{\alpha }_3=240^{\circ }-{\alpha }_2|-180^{\circ }$

${\alpha }_3=240^{\circ }-180^{\circ }-{\alpha }_2$

${\alpha }_3=60^{\circ }-{\alpha }_2$

Nie znamy wartości ${\alpha }_2$⁣, ale wcześniej wyznaczyliśmy wzór na sinus tego kąta:

$\sin {\alpha }_2=\frac{y_2}{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}$

Podstawiając wartości do tego wzoru:

$\sin {\alpha }_2=\frac{2\text{kratki}}{\sqrt{{\left(2\text{kratki}\right)}^2+{\left(5\text{kratek}\right)}^2}}=$

$=\frac{2\text{kratki}}{\sqrt{4{\text{kratki}}^2+25{\text{kratki}}^2}}=$

$=\frac{2\text{kratki}}{\sqrt{29{\text{kratki}}^2}}\approx \frac{2\cancel{\text{kartki}}}{5,385\cancel{\text{kratki}}}\approx$

$\approx 0,3714$

Odczytując kąt odpowiadający tej wartości z tablicy sinusów, otrzymujemy:

${\alpha }_2\approx 22^{\circ }$

Podstawiając to do równania na ${\alpha }_3$ dostajemy:

${\alpha }_3=60^{\circ }-22^{\circ }=38^{\circ }$

Otrzymana wartość jest większa niż wartość kąta granicznego, więc dojdzie do całkowitego wewnętrznego odbicia.

 Odpowiedź: 

Dojdzie do całkowitego wewnętrznego odbicia.