UWAGA!  W opracowanym zadaniu odpowiedź podana na stronie różni się od tej podanej w zbiorze zadań i jest to efekt przyjętych zaokrągleń.

Dane:

${\alpha }_0=65^{\circ }$

${\alpha }_{\text{gr}}=58^{\circ }$

${\alpha }_2=60^{\circ }$

$n_0=1$

Szukane:

$n_2=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie współczynnika załamania płaszcza światłowodu. W tym celu przeanalizujmy, co dzieje się z promieniem wchodzącym do światłowodu. Promień najpierw przemieszcza się w powietrzu, a następnie wnika do rdzenia światłowodu wykonanego ze szkła. Na skutek przejścia przez granicę dwóch ośrodków ulega załamaniu. Następnie rozchodzi się w rdzeniu, aż dotrze do granicy z płaszczem światłowodu, gdzie dochodzi do całkowitego wewnętrznego odbicia. Aby było to możliwe, rdzeń musi mieć większy współczynnik załamania niż płaszcz.

Aby wyznaczyć współczynnik załamania dla płaszcza, najpierw musimy obliczyć współczynnik załamania dla rdzenia. Wiemy, że kąty padania i załamania podczas przejścia między ośrodkami są związane ze współczynnikami załamania obu ośrodków. Zależność tę opisuje prawo Snelliusa:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_{\text{z}}}{n_{\text{p}}}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt padania,

$\beta$ - kąt załamania,

$n_{\text{p}}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_{\text{z}}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Dla przejścia z powietrza do rdzenia światłowodu możemy zapisać:

$\frac{\sin {\alpha }_0}{\sin {\alpha }_1}=\frac{n_1}{n_0}$

gdzie:

${\alpha }_0$ - kąt padania promienia na rdzeń,

${\alpha }_1$ - kąt załamania,

$n_1$ - współczynnik załamania rdzenia,

$n_0$ - współczynnik załamania powietrza.

Z treści zadania nie znamy ${\alpha }_1$, ale możemy je wyznaczyć, korzystając z geometrii problemu. W tym celu przyjrzyjmy się rysunkowi:

Jak widzimy, proste normalne do granicy ośrodków: powietrze–rdzeń oraz rdzeń–płaszcz, tworzą wewnątrz rdzenia kąt prosty, co zostało zaznaczone na rysunku. Zatem promień tworzy z tymi prostymi trójkąt prostokątny. Suma kątów w trójkącie musi dać $180^{\circ }$, więc możemy zapisać:

$180^{\circ }=90^{\circ }+{\alpha }_1+{\alpha }_2$

gdzie:

${\alpha }_2$ - kąt padania na płaszcz.

Chcemy wyznaczyć ${\alpha }_1$, więc przekształcamy powyższy wzór:

$180^{\circ }=90^{\circ }+{\alpha }_1+{\alpha }_2|-(90^{\circ }+{\alpha }_2)$

$180^{\circ }-90^{\circ }-{\alpha }_2={\alpha }_1$

$90^{\circ }-{\alpha }_2={\alpha }_1$

${\alpha }_1=90^{\circ }-{\alpha }_2$

Możemy podstawić ten kąt oraz wartość współczynnika załamania powietrza do prawa Snelliusa zapisanego dla przejścia powietrze-rdzeń:

$\frac{\sin {\alpha }_0}{\sin \left(90^{\circ }-{\alpha }_2\right)}=\frac{n_1}{1}$

Możemy skorzystać ze wzoru redukcyjnego:

$\sin \left(90^{\circ }-{\alpha }_{}\right)=\cos \alpha$

Podstawiając to do powyższego wzoru:

$\frac{\sin {\alpha }_0}{\cos {\alpha }_2}=n_1$

$n_1=\frac{\sin {\alpha }_0}{\cos {\alpha }_2}$

W przypadku gdy promień pada pod kątem granicznym prawo Snelliusa wciąż obowiązuje. Co więcej, wiemy, że gdy promień pada pod kątem granicznym to „ślizga się” on po powierzchni, czyli kąt załamania wynosi $90^{\circ }$. Zatem zapiszmy prawo Snelliusa dla promienia padającego na granicę rdzeń-płaszcz pod katem granicznym:

$\frac{\sin {\alpha }_{\text{gr}}}{\sin \left(90^{\circ }\right)}=\frac{n_2}{n_1}$ 

gdzie:

${\alpha }_{\text{gr}}$ - kąt graniczny,

$n_2$ - współczynnik załamania dla płaszcza.

Mamy na celu wyznaczenie współczynnika załamania dla płaszcza, więc przekształcamy wzór:

$\frac{\sin {\alpha }_{\text{gr}}}{1}=\frac{n_2}{n_1}|\cdot n_1$

$n_1\sin {\alpha }_{\text{gr}}=n_2$

$n_2=n_1\sin {\alpha }_{\text{gr}}$

Do powyższego wzoru dokonujemy podstawienia $n_1$otrzymanego po rozważeniu granicy powietrze-rdzeń:

$n_2=\frac{\sin {\alpha }_0}{\cos {\alpha }_2}\sin {\alpha }_{\text{gr}}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$n_2=\frac{\sin \left(65^{\circ }\right)}{\cos \left(60^{\circ }\right)}\sin \left(58^{\circ }\right)=\frac{0,9063}{0,5}\cdot 0,848\approx 1,54$

Odpowiedź: Współczynnik załamania dla płaszcza wynosi 1,54.