Dwa równoległe promienie...- Zadanie 478: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym celem jest określenie, jak fale światła będą się przemieszczać po przejściu przez pryzmat. Zacznijmy od przeanalizowania tego zjawiska krok po kroku. Najpierw promienie świetlne padają na powierzchnie pryzmatu prostopadle do jego powierzchni w związku z czym nie ulegają załamaniu. Promienie poruszają się przez pryzmat z różnymi prędkościami i padają pod kątem na ścianę pryzmatu. Przechodząc przez tą ścianę ulegają załamaniu zgodnie z prawem Snella:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{v _{1}}{v _{2}}$

gdzie:

$α$ - kąt padania,

$β$ - kąt załamania,

$v_{1}$ - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_{2}$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

Wiemy, że obu w przypadkach fale po opuszczenia prymatu, zaczną poruszać się znów z szybkością światła. Co więcej, wiązki padają na ścianę pryzmatu pod tym samym kątem, ponieważ poruszały się one równolegle wewnątrz pryzmatu. Zatem możemy zapisać:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{c}{v _{2}} ∣ \cdot v_{2}$

$\frac{v _{2} sin α}{sin β} = c ∣ : sin α$

$\frac{v _{2}}{sin β} = \frac{c}{sin α}$

Widzimy, że prawa strona tego równania ma tę samą wartość dla obu promieni. W związku z tym możemy zapisać:

$\frac{v _{c}}{sin β _{c}} = \frac{v _{f}}{sin β _{f}}$

gdzie:

$v_{c}$ - prędkość światła czerwonego w pryzmacie,

$v_{f}$ - prędkość światła fioletowego w pryzmacie,

$β_{c}$ - kąt, pod jakim załamie się promień światła czerwonego,

$β_{f}$ - kąt, pod jakim załamie się promień światła fioletowego.

Przekształcamy powyższe równanie:

$\frac{v _{c}}{sin β _{c}} = \frac{v _{f}}{sin β _{f}} ∣ \cdot sin β_{c}$

$v_{c} = \frac{v _{f} sin β _{c}}{sin β _{f}} ∣ : v_{f}$

$\frac{v _{c}}{v _{f}} = \frac{sin β _{c}}{sin β _{f}}$

Z powyższego równania widzimy, że fale odchylą się proporcjonalnie do szybkości tych fali w ośrodku. Szybkość fali w ośrodku jest proporcjonalna do długości fali, więc fala czerwona przemieszcza się szybciej niż fioletowa i możemy zapisać:

$\frac{v _{c}}{v _{f}} < 1$

W związku z tym:

$\frac{sin β _{c}}{sin β _{f}} < 1$

Powyższą nierówność możemy wymnożyć przez $sin β_{f}$ nie martwiąc się o zmianę znaku, ponieważ dla zjawiska załamania mamy tylko wartości kątów z pierwszej ćwiartki. W pierwszej ćwiartce sinus ma jedynie dodatnie wartości. Możemy zatem zapisać:

$sin β_{c} < sin β_{f}$