Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania! Uwaga! W treści zadania podano błędny wzór na wartość prędkości fali. W rozwiązaniu korzystamy z właściwego wzoru.

Dane:

$L_1=1,01L_0$

$L_2=1,03L_0$

Szukane:

$\frac{f_2}{f_1}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Szukamy stosunku częstotliwości fal powstających na napiętych z różną siłą strun.

Wartość prędkości fali poprzecznej na napiętej strunie jest dana jako: $v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$ gdzie: $v$ - wartość prędkości fali, $F$ - wartość siły napinającej strunę, $\mu$ - gęstość liniowa struny.

 

Gęstość liniową wyrazimy jako: $\mu =\frac{m}{L}$ gdzie: $\mu$ - gęstość liniowa, $m$ - masa ciała, $L$ - długość ciała.

Zatem wzór na wartość prędkości fali przyjmie postać:

$v=\sqrt{\frac{F}{\frac{m}{L}}}$

$v=\sqrt{\frac{FL}{m}}$

Wartość prędkość fali wyrażamy jako: $v=\lambda f$ gdzie: $v$ - wartość prędkości fali, $\lambda$ - długość fali, $f$ - częstotliwość fali.

Stąd:

$\lambda f=\sqrt{\frac{FL}{m}}$

Częstotliwość fali powstającej na strunie będzie równa:

$f=\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{FL}{m}}$

Jednocześnie drgającą strunę możemy zobrazować tak ja na poniższym rysunku.

Długość struny odpowiada połowie długości fali wytwarzanej na tej strunie w wyniku jej drgań.

$\frac{1}{2}\lambda =L$

$\lambda =2L$

Zatem nasz wzór na częstotliwość przyjmie postać:

$f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{FL}{m}}$

Upraszczamy go włączając długość $L$ pod pierwiastek.

$f=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{L^2}\cdot \frac{FL}{m}}$

$f=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{F}{Lm}}$

Teraz możemy zapisać osobne wzory dla struny pierwszej i drugiej. Masy strun są takie same. Są one jedynie rozciągnięte innymi siłami na inne długości.

$f_1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{F_1}{L_{1}m}}$

$f_2=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{F_2}{L_{2}m}}$

Stosunek tych częstotliwości będzie równy:

$\frac{f_2}{f_1}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{F_2}{L_{2}m}}}{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{F_1}{L_{1}m}}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\frac{\sqrt{\frac{F_2}{L_{2}m}}}{\sqrt{\frac{F_1}{L_{1}m}}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{\frac{F_2}{L_2\cancel{m}}}{\frac{F_1}{L_1\cancel{m}}}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{F_2}{L_2}\cdot \frac{L_1}{F_1}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{F_2}{F_1}\cdot \frac{L_1}{L_2}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{F_2}{F_1}\cdot \frac{1,01\cancel{L_0}}{1,03\cancel{L_0}}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{101}{103}\cdot \frac{F_2}{F_1}}$

Przyjmujemy, że wartości sił naprężających są wprost proporcjonalne do wydłużeń strun:

$F_1=k\Delta L_1$

$F_2=k\Delta L_2$

gdzie:

$k$ - stała proporcjonalności,

$\Delta L_1,\Delta L_2$ - wydłużenia strun.

Wydłużenia strun będą różnicą między końcową i początkową długością.

$\Delta L_1=L_1-L_0$

$\Delta L_1=1,01L_0-L_0=0,01L_0$

I dla drugiej struny:

$\Delta L_2=L_2-L_0$

$\Delta L_2=1,03L_0-L_0=0,03L_0$

Zatem:

$F_1=k\cdot 0,01L_0$

$F_2=k\cdot 0,03L_0$

Otrzymujemy:

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{101}{103}\cdot \frac{F_2}{F_1}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{101}{103}\cdot \frac{\cancel{k}\cdot 0,03\cancel{L_0}}{\cancel{k}\cdot 0,01\cancel{L_0}}}$

$\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{101}{103}\cdot 3}=\sqrt{\frac{303}{103}}\approx 1,72$