Gwizdek (piszczałka zamknięta z jednego końca)...- Zadanie 455: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$f = 2750 Hz$

$v_{d} = 330 \frac{m}{s}$

$1.$

Szukane:

$l = ?$

Rozwiązanie:

Chcemy wyznaczyć długość gwizdka. Rysujemy piszczałkę zamkniętą z lewej strony i otwartą z prawej strony.

Z piszczałki rozprzestrzenia się fala sinusoidalna. To jaka część fali powstaje w piszczałce, zależy od jej rodzaju. W piszczałce jednostronnie zamkniętej z jej zamkniętej strony mamy węzeł fali, a z drugiej - otwartej strony, mamy strzałkę.

Łatwo zauważyć, że jedną czwartą długości fali emitowanej z piszczałki stanowi długość piszczałki - gwizdka.

$l = \frac{1}{4} λ$

Długość fali możemy przedstawić wzorem:

$λ = \frac{v}{f}$

gdzie:

$λ$ - długość fali,

$v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala,

$f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

W naszym przypadku rozpatrujemy falę dźwiękową, stąd jaj długość fali będzie równa:

$λ = \frac{v _{d}}{f}$

gdzie:

$λ$ - długość fali dźwiękowej,

$v_{d}$ - wartość prędkości dźwięku,

$f$ - częstotliwość dźwięku.

Zatem:

$l = \frac{1}{4} \frac{v _{d}}{f}$

$l = \frac{v _{d}}{4 f}$

Obliczamy długość gwizdka:

$l = \frac{330 \frac{m}{s}}{4 \cdot 2750 Hz} = \frac{330 \frac{m}{s}}{11 000 \frac{1}{s}} = 0, 03 m = 3 cm$

Odpowiedź: Długość gwizdka wynosi $3 cm$ .

$2 .$

Dane:

$P = 4 π \cdot 1 0^{- 8} W$

$I_{0} = 1 0^{- 12} \frac{W}{m ^{2}}$

Szukane:

$r_{min} = ?$

Rozwiązanie:

Szukamy minimalnej odległości, w której natężenie dźwięku zmaleje na tyle, że nie będzie już słyszalne.

Dźwięk emitowany przez źródło ma postać fal kulistych. Wówczas dla punktowego źródła dźwięku natężenie emitowanej fali kulistej obliczymy z zależności:

$I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$

gdzie:

$I$ - natężenie fali kulistej,

$P$ - moc źródła fali,

$π$ - liczba π (pi),

$r$ - odległość od źródła fali.

W naszym przypadku natężenie dźwięku przyjmiemy jako próg słyszalności.

$I_{0} = \frac{P}{4 π r _{min}^{2}}$

gdzie:

$I_{0}$ - próg słyszalności,

$P$ - moc fali dźwiękowej,

$r_{m i n}$ - minimalna odległość, dla której dźwięk przestaje być słyszalny.

Wyznaczamy szukaną odległość:

$I_{0} r_{m i n}^{2} = \frac{P}{4 π}$

$r_{m i n}^{2} = \frac{P}{4 π I _{0}}$

$r_{min} = \frac{P}{4 π I _{0}}$

Wstawiamy dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru:

$r_{min} = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 8} W}{4 π \cdot 1 0 ^{- 12} \frac{W}{m ^{2}}} = 1 0^{- 8 + 12} m^{2} = 1 0^{4} m^{2} = 1 0^{2} m = 100 m$

Odpowiedź: Dźwięk gwizdka przestaje być słyszalny w odległości $100 m$ .

$3 .$

Dane:

$v_{s} = 12 \frac{km}{h} = 12 \cdot \frac{1000 m}{3600 s} = 12^{1} \cdot \frac{10 m}{36 _{3} s} = \frac{10}{3} \frac{m}{s}$

Szukane:

$f^{'} = ?$

Rozwiązanie:

Szukamy zmienionej częstotliwości dźwięku, jaką odbiera zawodnik na skutek zjawiska Dopplera.

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tę zależność ma postać:

$f^{'} = f \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{\overset{z}{ˊ}}}$

gdzie:

$f^{'}$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

$f$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),

$v_{o}$ - szybkość z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,

$v_{\overset{z}{ˊ}}$ - szybkość z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

W naszym przypadku źródło dźwięku (sędzia) porusza się w stronę obserwatora, a obserwator (zawodnik) jest nieruchomy. Zatem zależność upraszcza się do:

$f^{'} = f \frac{v _{d}}{v _{d} - v _{s}}$

gdzie:

$f^{'}$ - częstotliwość dźwięku słyszanego przez zawodnika,

$f$ - częstotliwość dźwięku emitowanego z gwizdka,

$v_{d}$ - wartość prędkości dźwięku,

$v_{s}$ - wartość prędkości sędziego.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f^{'} = 2750 Hz \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{330 \frac{m}{s} - \frac{10}{3} \frac{m}{s}} = 2750 Hz \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{\frac{990}{3} \frac{m}{s} - \frac{10}{3} \frac{m}{s}} = 2750 Hz \cdot \frac{330 \frac{m}{s}}{\frac{980}{3} \frac{m}{s}} =$

$f^{'} = 2750 Hz \cdot \frac{3 \cdot 330 \frac{m}{s}}{980 \frac{m}{s}} = 2750 Hz \cdot \frac{990 \frac{m}{s}}{980 \frac{m}{s}} \approx 2750 Hz \cdot 1, 0102 \approx 2778 Hz$