Dane:

$E=5\mathrm{MeV}=5\cdot 10^6\mathrm{eV}$

$s=25\mathrm{m}$

$v=3\cdot 10^7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$I=40\mu \mathrm{A}=40\cdot 10^{-6}\mathrm{A}=4\cdot 10^{-5}\mathrm{A}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ masa spoczynkowa protonu: $m_p=1,6726\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}$,

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$, 

 

$1.$

Szukane:

$F=?$

Rozwiązanie:

Szukamy wartości siły z jaką cała wiązka protonów działa na tarczę pomiarową w momencie uderzenia o nią. Skorzystamy z uogólnionej II zasady dynamiki.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, wartość siły wypadkowej działającej na ciało jest równa szybkości zmian pędu tego ciała:

$F_{\text{wyp.}}=\frac{|\Delta p|}{\Delta t}$

gdzie:

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej działającej na ciało, 

$\left|\Delta p\right|$ - zmiana wartości pędu ciała,

$\Delta t$ - czas, w jakim nastąpiła zmiana wartości pędu. 

Protony są hamowane z siłą $F_{\text{wyp.}}$ , więc zgodnie z III zasadą dynamiki, z siłą o takiej samej wartości będą działać na tarczę.

Interesuje nas oddziaływanie całej wiązki protonów, więc szukamy zsumowanej siły oddziaływania od wszystkich $n$ fotonów.

$F=n{F}_{\text{wyp.}}$

gdzie:

$F$ - wartość siły z jaką wiązka protonów działa na tarczę.

$n$ - liczba protonów w wiązce.

Stąd:

$F=n\frac{|\Delta p|}{\Delta t}$

Zmianę wartości pędu, hamującego na tarczy protonu, wyrazimy jako:

$\left|\Delta p\right|=\left|p_1-p_0\right|$

gdzie:

$p_1$ - końcowa wartość pędu,

$p_0$ - początkowa wartość pędu.

Pęd końcowy jest zerowy, bo protony są pochłaniane.

$p_1=0$

Pęd początkowy to pęd z jakim protony dolatują do tarczy. Jego wartość wyrazimy jako:

$p_0=m_{p}v$

gdzie:

$m_p$ - masa protonu,

$v$ - wartość prędkości protonu.

Zatem:

$\left|\Delta p\right|=\left|0-p_0\right|$

$\left|\Delta p\right|=p_0$

$\left|\Delta p\right|=m_{p}v$

Stąd:

$F=n\frac{m_{p}v}{\Delta t}$ 

Czas oddziaływania protonów możemy uzyskać odwołując się do definicji natężenia prądu elektrycznego, który stanowi lecąca wiązka protonów.

Natężenie prądu opisujemy wzorem:

$I=\frac{q}{\Delta t}$

gdzie:

$I$ - natężenie prądu,

$q$ - wartość przepływającego ładunku,

$\Delta t$ - czas przepływu prądu.

W naszym przypadku znamy natężenie pądu elektrycznego całej wiązki, więc jej ładunek wyrazimy jako:

$q=ne$

gdzie:

$n$ - liczba protonów w wiązce,

$e$ - ładunek jednego protonu.

Stąd:

$I=\frac{ne}{\Delta t}$

$I\Delta t=ne$

$\Delta t=\frac{ne}{I}$

Wracamy do wzoru na szukaną wartość siły.

$F=n\frac{m_{p}v}{\Delta t}$ 

Otrzymujemy:

$F=n\frac{m_{p}v}{\frac{ne}{I}}$

$F=\cancel{n}\frac{m_{p}vI}{\cancel{n}e}$

$F=\frac{m_{p}vI}{e}$

Wprowadzamy dane liczbowe do wzoru.

$F=\frac{1,6726\cdot 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot 3\cdot 10^7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 4\cdot 10^{-5}\mathrm{A}}{1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}=\frac{20,0712\cdot 10^{-25}\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{A}}{1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}=$

$=12,5445\cdot 10^{-6}\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{C}}\approx 1,25\cdot 10^{-5}\mathrm{kg}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=1,25\cdot 10^{-5}\mathrm{N}$

Odpowiedź: Wiązka protonów działa na tarczę z siłą o wartości $1,25\cdot 10^{-5}\mathrm{N}$.

 

$2.$

Szybkość z jaką należałoby odprowadzić ciepło z tarczy pomiarowej, na którą skierowano wiązkę protonów, aby temperatura tarczy nie uległa zmianie jest stosunkiem energii odprowadzonej z tarczy w jednostce czasu:

$\left[\frac{Q}{\Delta t}\right]=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}$  

Korzystając z obliczeń wykonanych w podpunkcie 1. zauważmy, że iloczyn liczby protonów w wiązce i energii przyspieszonego protonu jest równy energii wiązki protonów. Podczas pochłaniania protonów na tarczy, energia wiązki jest zamieniana na ciepło i podnosi temperaturę całej tarczy. Zatem energia wiązki jest równa ciepłu jakie należy odprowadzić z tarczy, aby nie uległa ona ogrzaniu:

$Q=nE$

gdzie:

$Q$ - ciepło,

$n$ - liczba protonów,

$E$ - energia rozpędzonego protonu.

Wówczas szybkość odprowadzania ciepła powinna przedstawiać się zależnością:

$\frac{Q}{\Delta t}=\frac{nE}{\Delta t}$  

Podobnie jak wcześniej wyrażamy natężenie prądu wiązki:

$I=\frac{ne}{\Delta t}$

gdzie:

$I$ - natężenie prądu,

$e$ - wartość ładunku elementarnego,

$\Delta t$ - czas pochłaniania wiązki.

Stąd:

$\Delta t=\frac{ne}{I}$

Otrzymujemy:

$\frac{Q}{\Delta t}=\frac{nE}{\Delta t}$

$\frac{Q}{\Delta t}=\frac{nE}{\frac{ne}{I}}$

$\frac{Q}{\Delta t}=\frac{\cancel{n}EI}{\cancel{n}e}$

$\frac{Q}{\Delta t}=\frac{EI}{e}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{Q}{\Delta t}=\frac{5\cdot 10^6\mathrm{eV}\cdot 4\cdot 10^{-5}\mathrm{A}}{e}=\frac{5\cdot 10^6\mathrm{V}\cdot 4\cdot 10^{-5}\mathrm{A}\cdot \cancel{e}}{\cancel{e}}=20\cdot 10^1\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}=200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Z tarczy pomiarowej trzeba odprowadzać ciepło z szybkością $200\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}$.