Dane:

$l=14\mathrm{cm}=0,14\mathrm{m}$

$d=2\mathrm{cm}=0,02\mathrm{m}$

$U=90\mathrm{V}$

$v=3\cdot 10^7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$,

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m=9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}$,

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

$1.$

Szukane:

$E=\text{?}$

$F_{\text{e}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wartość natężenia pola elektrycznego wewnątrz kondensatora przedstawiamy wzorem:

$E=\frac{U}{d}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia pola elektrycznego,

$U$ - różnica potencjałów między okładkami (napięcie na kondensatorze),

$d$ - odległość między okładkami.

Obliczamy wartość szukanego natężenia.

$E=\frac{90\mathrm{V}}{0,02\mathrm{m}}=4500\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=4500\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$

W jednorodnym polu elektrycznym siła elektryczna ma stałą wartość wyrażaną wzorem:

$F_{\text{e}}=qE$

gdzie:

$F_{\text{e}}$ - wartość siły elektrycznej,

$q$ - wartość ładunku cząstki,

$E$ - wartość natężenia pola elektrycznego.

W naszym przypadku dla elektronu wartość bezwzględna ładunku elektrycznego jest równa ładunkowi elementarnemu.

$F_{\text{e}}=eE$

gdzie:

$e$ - wartość ładunku elementarnego.

Obliczamy wartość szukanej siły.

$F_{\text{e}}=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\cdot 4500\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=7200\cdot 10^{-19}\mathrm{N}=7,2\cdot 10^{-16}\mathrm{N}$

 

$2.$

Dane:

$F_{\text{e}}=7,2\cdot 10^{-16}\mathrm{N}$

Szukane:

$\frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Siła grawitacji nie będzie wpływać znacząco na tor ruchu elektronu, jeżeli jej wartość będzie dużo mniejsza od wartości siły elektrycznej. 

Wartość siły grawitacji możemy wyrazić wzorem:

$F_{\text{g}}=mg$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Obliczamy wartość tej siły:

$F_{\text{g}}=9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=89,3691\cdot 10^{-31}\mathrm{N}\approx 8,9\cdot 10^{-30}\mathrm{N}$

Wyznaczamy stosunek wartości siły elektrycznej do grawitacji.

$\frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}}=\frac{7,2\cdot 10^{-16}\cancel{\mathrm{N}}}{8,9\cdot 10^{-30}\cancel{\mathrm{N}}}\approx 10^{14}$

Wartość siły elektrycznej działającej na elektron jest około $10^{14}$ razy większa od wartości siły grawitacji. Oznacza to, że to siła elektryczna dominuje i decyduje o przebiegu toru ruchu elektronu.

 

$3.$

Szukane:

$t=\text{?}$

Rozwiązanie:

Elektron wlatuje pomiędzy okładki kondensatora z prędkością $\vec{v}$ skierowaną poziomo. W czasie przelotu, elektron zyskuje dodatkowo składową prędkości w kierunku pionowym, wynikającą z działającej na niego siły elektrycznej. Ta dodatkowa składowa prędkości nie wpływa na przemieszczanie się elektronu wzdłuż okładek kondensatora. Zatem możemy traktować przelot elektronu przez obszar kondensatora jako ruch jednostajny z prędkością $\vec{v}$.

Drogę w ruchu jednostajnym wyrażamy jako:

$l=vt$

gdzie:

$l$ - przebyta droga,

$v$ - wartość prędkości,

$t$ - czas ruchu.

Stąd czas ruchu elektronu będzie równy:

$t=\frac{l}{v}$

Obliczamy czas w jakim elektron przeleci przez kondensator.

$t=\frac{0,14\cancel{\mathrm{m}}}{3\cdot 10^7\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\mathrm{s}}}\approx 0,047\cdot 10^{-7}\mathrm{s}=4,7\cdot 10^{-9}\mathrm{s}=4,7\mathrm{ns}$

 

$4.$

Dane:

$F=7\cdot 10^{-16}\mathrm{N}$

$t=4,5\cdot 10^{-9}\mathrm{s}$

Szukane:

$y=?$

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy możliwy ruch elektronu w polu kondensatora.

Elektron w czasie $t$ przebędzie pewną odległość w kondensatorze. Jego ruch możemy podzielić na ruch poziomy i pionowy. W tym samym czasie elektron przesuwa się wzdłuż okładek i wzdłuż linii pola (prostopadle do okładek) na pewną odległość $y$. Jeżeli ta odległość $y$ będzie mniejsza od $\frac{1}{2}d$, czyli połowy odległości między okładkami, to elektron nie uderzy w górną okładkę, zanim opuści kondensator.

$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot 0,02\mathrm{m}=0,01\mathrm{m}$

Ruch elektronu w pionie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Siłą wypadkową w tym ruchu jest siła elektryczna.

$F=ma$

gdzie:

$F$ - wartość siły elektrycznej,

$m$ - masa elektronu,

$a$ - wartość przyspieszenia elektronu.

Stąd:

$a=\frac{F}{m}$

Wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym wyrazimy jako:

$y=\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$y$ - droga (przebyta w pionie),

$t$ - czas ruchu.

Zatem:

$y=\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}^2$

Obliczamy dystans jaki przebędzie elektron w stronę górnej okładki kondensatora.

$y=\frac{7\cdot 10^{-16}\mathrm{N}}{2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}}\cdot {\left(4,5\cdot 10^{-9}\mathrm{s}\right)}^2\approx 0,384\cdot 10^{15}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 20,25\cdot 10^{-18}{\mathrm{s}}^2=$

$=7,776\cdot 10^{-3}\mathrm{m}\approx 0,008\mathrm{m}$

Otrzymujemy:

$0,008\mathrm{m}<0,01\mathrm{m}$

Odpowiedź: Elektron nie trafi w żadną z okładek.