Dane:

$n=2\text{mole}$

$C_V=\frac{3}{2}R$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$ .

Dane odczytane z wykresu:

$V_A=8\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$

$V{}_B=8\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$

$V{}_C=4\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$

$p_A=2\cdot 10^6\text{Pa}$

$p_B=4\cdot 10^6\text{Pa}$

$p_C=4\cdot 10^6\text{Pa}$

 

$1.$  

 Uzasadnienie: 

Z wykresu dołączonego do zadania wynika, że w przemianie A→B  objętość jest stała, czyli jest to przemiana izochoryczna. W przemianie B→C mamy stałe ciśnienie, czyli jest to przemiana izobaryczna. 

 Odpowiedź: 

AB - przemiana  izochoryczna 

BC - przemiana  izobaryczna 

 

$2.$  

Dane w podpunkcie:

$T_A=963\text{K}$

Szukane:

$T_B=?$

$T_C=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatury gazu w stanach B i C. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu, 

$V$ - objętość gazu, 

$n$ - liczba moli gazu, 

$R$ - stała gazowa, 

$T$ - temperatura gazu doskonałego. 

Znając temperaturę gazu w stanie A możemy ją przedstawić za pomocą pozostałych parametrów gazu następującym wzorem:

$nR{T}_A=p_A{V}_A$

gdzie:

$T_A$ - temperatura gazu w stanie A, 

$p_A$ - ciśnienie gazu w stanie A, 

$V_A$ - objętość gazu w stanie A. 

▶ Wyznaczamy temperaturę gazu w stanie B.

Z wykresu możemy odczytać objętość i ciśnienie gazu w stanie B. Przedstawmy, jak wglądają te parametry względem stanu A:

$V_B=V_A$

$\frac{p_B}{p_A}=\frac{4\cdot 10^6\text{Pa}}{2\cdot 10^6\text{Pa}}=2$, czyli $p_B=2p_A$

gdzie:

$V_B$ - objętość gazu w stanie B, 

$p_B$ - ciśnienie gazu w stanie B.

Wówczas temperatura gazu w stanie B oznaczona przez $T_B$ ma postać:

$nR{T}_B=p_B{V}_B|:nR$

$T_B=\frac{p_B{V}_B}{nR}$

$T_B=\frac{2p_A\cdot V_A}{nR}$

$T_B=2\cdot \frac{p_A{V}_A}{nR}$

$T_B=2T_A$

Obliczmy tą temperaturę:

$T_B=2\cdot 963\text{K}=1926\text{K}$

▶ Wyznaczamy temperaturę gazu w stanie C.

Z wykresu możemy odczytać objętość i ciśnienie gazu w stanie B. Przedstawmy, jak wglądają te parametry względem stanu A:

$\frac{V_C}{V_A}=\frac{4\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3}{8\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3}=0,5$, czyli $V_C=0,5V_A$

$\frac{p_C}{p_A}=\frac{4\cdot 10^6\text{Pa}}{2\cdot 10^6\text{Pa}}=2$, czyli $p_C=2p_A$

gdzie:

$V_C$ - objętość gazu w stanie C, 

$p_C$ - ciśnienie gazu w stanie C.

Wówczas temperatura gazu w stanie C oznaczona przez $T_C$ ma postać:

$nR{T}_C=p_C{V}_C|:nR$

$T_C=\frac{p_C{V}_C}{nR}$

$T_C=\frac{2p_A\cdot 0,5V_A}{nR}$

$T_C=\frac{p_A{V}_A}{nR}$

$T_C=T_A$

Zatem ta temperatura wynosi:

$T_C=963\text{K}$

Odpowiedź: Temperatura gazu w stanie B wynosi 1 926 K, a w stanie C wynosi 963 K.

 

$3.$  

Dane z podpunktu 2:

$T_A=963\text{K}$

Szukane:

$W_{A\to B}=?$

$Q_{A\to B}=?$

$W_{B\to C}=?$

$Q_{B\to C}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy wykonywanej w każdym procesie oraz ciepła wymienionego z otoczeniem. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że temperatury spełniają następujące zależności:

$T_B=2T_A$

$T_C=T_A$

▶ Przemiana A → B

Pierwsza przemiana A → B jest przemianą izochoryczną, przy której ciśnienie i temperatura wzrasta. Jest to proces izochorycznego ogrzewania gazu. Praca wykonana przez gaz w tym procesie jest zerowa, ponieważ zerowa jest zmiana objętości gazu:

$W_{A\to B}=0$

gdzie:

$W_{A\to B}$ - praca wykonana przez gaz w przemianie A→B.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem:

$Q=n{C}_V\Delta T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Temperatura gazu w przemianie A→B rośnie, czyli zmianę temperatury dla tego przypadku możemy przedstawić wzorem:

$\Delta T_{A\to B}=T_B-T_A$

gdzie:

$\Delta T_{A\to B}$ - zmiana temperatury gazu w przemianie A→B.

Skoro temperatura gazu rosła to ciepło było było pobierane przez gaz i wynosiło:

$Q_{A\to B}=n{C}_V\Delta T_{A\to B}$

gdzie:

$Q_{A\to B}$ - ciepło pobierane w procesie A→B. 

Otrzymamy wówczas:

$Q_{A\to B}=n{C}_V\Delta T_{A\to B}$

$Q_{A\to B}=n\cdot \frac{3}{2}R\cdot \left(T_B-T_A\right)$

$Q_{A\to B}=\frac{3}{2}nR\left(2T_A-T_A\right)$

$Q_{A\to B}=\frac{3}{2}nR{T}_A$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{A\to B}=\frac{3}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}\cancel{\text{mole}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}\cdot \text{K}}}\cdot 963\cancel{\text{K}}=$

$=3\cdot 8,31\cdot 963\text{J}=24007,59\text{J}\approx 24008\text{J}$

▶ Przemiana B → C

Druga przemiana B → C jest przemianą izobaryczną, przy której objętość i temperatura maleją. Jest to proces izobarycznego sprężania gazu. W tej przemianie pracę wykonaną przez siły zewnętrzne nad układem możemy przedstawić wzorem:

$W=p_B\Delta V_{B\to C}$  

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez siły zewnętrzne,

$p_B$ - ciśnienie gazu w stanie B (takie samo jak w stanie C), 

$\Delta V_{B\to C}$ - zmiana objętości gazu w przemianie B→C.

Zmianę objętości gazu przedstawimy jako różnicę pomiędzy końcową i początkową objętością:

$\Delta V_{B\to C}=V_C-V_B$

Wówczas:

$W=p_A\Delta V_{B\to C}$

$W=p_A\left(V_C-V_B\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=4\cdot 10^6\text{Pa}\cdot \left(4\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3-8\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3\right)=$

$=4\cdot 10^6\frac{\text{J}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot \left(-4\cdot 10^{-3}\cancel{{\text{m}}^3}\right)=$

$=-16\cdot 10^{6-3}\text{J}=-16\cdot 10^3\text{J}=$

$=-16000\text{J}$

Znak minus świadczy o tym, że to gaz w przemianie izobarycznej wykonywał pracę, a nie siły zewnętrzne. Zatem praca wykonana w przemianie B→C wynosi:

$W_{B\to C}=-W$

$W_{B\to C}=-\left(-16000\text{J}\right)=16000\text{J}$

Wyznaczmy teraz ciepło wymienione z otoczeniem przez układ. Zauważmy, że temperatura gazu maleje, czyli gaz oddaje ciepło do otoczenia. Wówczas zmiana temperatury ma postać:

$\Delta T_{B\to C}=T_B-T_C$

$\Delta T_{B\to C}=2T_A-T_A$

$\Delta T_{B\to C}=T_A$

gdzie:

$\Delta T_{B\to C}$ - zmiana temperatury gazu w przemianie B→C.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q=n{C}_p\Delta T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Dla gazu doskonałego spełniona jest zależność:

$C_p-C_V=R$

gdzie:

$C_p$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$R$ - stała gazowa.

Wówczas ciepło molowe przy stałym ciśnieniu ma postać:

$C_p-C_V=R|+C_V$

$C_p=R+C_V$

$C_p=R+\frac{3}{2}R$

$C_p=\frac{5}{2}R$

Zatem ciepło oddane przez gaz w tym otoczeniu ma postać:

$Q_{B\to C}=n{C}_p\Delta T_{B\to C}$

gdzie:

$Q_{B\to C}$ - ciepło oddane do otoczenia w przemianie B→C.

Oznacza to,  że otrzymujemy:

$Q_{B\to C}=n\cdot \frac{5}{2}R\cdot T_A$

$Q_{B\to C}=\frac{5}{2}nR{T}_A$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{B\to C}=\frac{5}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}\cancel{\text{mole}}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\cancel{\text{mol}\cdot \text{K}}}\cdot 963\cancel{\text{K}}=$

$=5\cdot 8,31\cdot 963\text{J}=40012,65\text{J}\approx 40013\text{J}$

Odpowiedź: W poszczególnych przemianach prace i ciepła wynoszą:

▶ praca w przemianie A→B: $W_{A\to B}=0$,

▶ praca wykonana przez gaz w przemianie B→C: $W_{B\to C}=16000\text{J}$,

▶ ciepło pobrane przez gaz w przemianie A→B: $Q_{A\to B}\approx 24008\text{J}$,

▶ ciepło oddane do otoczenia w przemianie B→C:  $Q_{B\to C}\approx 40013\text{J}$.  

 

$4.$  

W przemianie AB wzrosła temperatura gazu, czyli energia wewnętrzna w tej przemianie również wzrosła.