Na wykresie p=f(V) przedstawiono dwie przemiany...- Zadanie 302: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$n = 2 mole$

$C_{V} = \frac{3}{2} R$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ .

Dane odczytane z wykresu:

$V_{A} = 8 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

$V_{B} = 8 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

$V_{C} = 4 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

$p_{A} = 2 \cdot 1 0^{6} Pa$

$p_{B} = 4 \cdot 1 0^{6} Pa$

$p_{C} = 4 \cdot 1 0^{6} Pa$

$1 .$

Uzasadnienie:

Z wykresu dołączonego do zadania wynika, że w przemianie A→B objętość jest stała, czyli jest to przemiana izochoryczna. W przemianie B→C mamy stałe ciśnienie, czyli jest to przemiana izobaryczna.

Odpowiedź:

AB - przemiana izochoryczna

BC - przemiana izobaryczna

$2 .$

Dane w podpunkcie:

$T_{A} = 963 K$

Szukane:

$T_{B} = ?$

$T_{C} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatury gazu w stanach B i C. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Znając temperaturę gazu w stanie A możemy ją przedstawić za pomocą pozostałych parametrów gazu następującym wzorem:

$n R T_{A} = p_{A} V_{A}$

gdzie:

$T_{A}$ - temperatura gazu w stanie A,

$p_{A}$ - ciśnienie gazu w stanie A,

$V_{A}$ - objętość gazu w stanie A.

▶ Wyznaczamy temperaturę gazu w stanie B.

Z wykresu możemy odczytać objętość i ciśnienie gazu w stanie B. Przedstawmy, jak wglądają te parametry względem stanu A:

$V_{B} = V_{A}$

$\frac{p _{B}}{p _{A}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{6} Pa}{2 \cdot 1 0 ^{6} Pa} = 2$ , czyli $p_{B} = 2 p_{A}$

gdzie:

$V_{B}$ - objętość gazu w stanie B,

$p_{B}$ - ciśnienie gazu w stanie B.

Wówczas temperatura gazu w stanie B oznaczona przez $T_{B}$ ma postać:

$n R T_{B} = p_{B} V_{B} ∣ : n R$

$T_{B} = \frac{p _{B} V _{B}}{n R}$

$T_{B} = \frac{2 p _{A} \cdot V _{A}}{n R}$

$T_{B} = 2 \cdot \frac{p _{A} V _{A}}{n R}$

$T_{B} = 2 T_{A}$

Obliczmy tą temperaturę:

$T_{B} = 2 \cdot 963 K = 1926 K$

▶ Wyznaczamy temperaturę gazu w stanie C.

Z wykresu możemy odczytać objętość i ciśnienie gazu w stanie B. Przedstawmy, jak wglądają te parametry względem stanu A:

$\frac{V _{C}}{V _{A}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3}}{8 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3}} = 0, 5$ , czyli $V_{C} = 0, 5 V_{A}$

$\frac{p _{C}}{p _{A}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{6} Pa}{2 \cdot 1 0 ^{6} Pa} = 2$ , czyli $p_{C} = 2 p_{A}$

gdzie:

$V_{C}$ - objętość gazu w stanie C,

$p_{C}$ - ciśnienie gazu w stanie C.

Wówczas temperatura gazu w stanie C oznaczona przez $T_{C}$ ma postać:

$n R T_{C} = p_{C} V_{C} ∣ : n R$

$T_{C} = \frac{p _{C} V _{C}}{n R}$

$T_{C} = \frac{2 p _{A} \cdot 0 , 5 V _{A}}{n R}$

$T_{C} = \frac{p _{A} V _{A}}{n R}$

$T_{C} = T_{A}$

Zatem ta temperatura wynosi:

$T_{C} = 963 K$

Odpowiedź: Temperatura gazu w stanie B wynosi 1 926 K, a w stanie C wynosi 963 K.

$3.$

Dane z podpunktu 2:

$T_{A} = 963 K$

Szukane:

$W_{A \to B} = ?$

$Q_{A \to B} = ?$

$W_{B \to C} = ?$

$Q_{B \to C} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy wykonywanej w każdym procesie oraz ciepła wymienionego z otoczeniem. Z poprzedniego podpunktu wiemy, że temperatury spełniają następujące zależności:

$T_{B} = 2 T_{A}$

$T_{C} = T_{A}$

▶ Przemiana A → B

Pierwsza przemiana A → B jest przemianą izochoryczną, przy której ciśnienie i temperatura wzrasta. Jest to proces izochorycznego ogrzewania gazu. Praca wykonana przez gaz w tym procesie jest zerowa, ponieważ zerowa jest zmiana objętości gazu:

$W_{A \to B} = 0$

gdzie:

$W_{A \to B}$ - praca wykonana przez gaz w przemianie A→B.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem:

$Q = n C_{V} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Temperatura gazu w przemianie A→B rośnie, czyli zmianę temperatury dla tego przypadku możemy przedstawić wzorem:

$Δ T_{A \to B} = T_{B} - T_{A}$

gdzie:

$Δ T_{A \to B}$ - zmiana temperatury gazu w przemianie A→B.

Skoro temperatura gazu rosła to ciepło było było pobierane przez gaz i wynosiło:

$Q_{A \to B} = n C_{V} Δ T_{A \to B}$

gdzie:

$Q_{A \to B}$ - ciepło pobierane w procesie A→B.

Otrzymamy wówczas:

$Q_{A \to B} = n C_{V} Δ T_{A \to B}$

$Q_{A \to B} = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (T_{B} - T_{A})$

$Q_{A \to B} = \frac{3}{2} n R (2 T_{A} - T_{A})$

$Q_{A \to B} = \frac{3}{2} n R T_{A}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{A \to B} = \frac{3}{2} \cdot 2 mole \cdot 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 963 K =$

$= 3 \cdot 8, 31 \cdot 963 J = 24007, 59 J \approx 24008 J$

▶ Przemiana B → C

Druga przemiana B → C jest przemianą izobaryczną, przy której objętość i temperatura maleją. Jest to proces izobarycznego sprężania gazu. W tej przemianie pracę wykonaną przez siły zewnętrzne nad układem możemy przedstawić wzorem:

$W = p_{B} Δ V_{B \to C}$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez siły zewnętrzne,

$p_{B}$ - ciśnienie gazu w stanie B (takie samo jak w stanie C),

$Δ V_{B \to C}$ - zmiana objętości gazu w przemianie B→C.

Zmianę objętości gazu przedstawimy jako różnicę pomiędzy końcową i początkową objętością:

$Δ V_{B \to C} = V_{C} - V_{B}$

Wówczas:

$W = p_{A} Δ V_{B \to C}$

$W = p_{A} (V_{C} - V_{B})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W = 4 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot (4 \cdot 1 0^{- 3} m^{3} - 8 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}) =$

$= 4 \cdot 1 0^{6} \frac{J}{m ^{3}} \cdot (- 4 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}) =$

$= - 16 \cdot 1 0^{6 - 3} J = - 16 \cdot 1 0^{3} J =$

$= - 16000 J$

Znak minus świadczy o tym, że to gaz w przemianie izobarycznej wykonywał pracę, a nie siły zewnętrzne. Zatem praca wykonana w przemianie B→C wynosi:

$W_{B \to C} = - W$

$W_{B \to C} = - (- 16000 J) = 16000 J$

Wyznaczmy teraz ciepło wymienione z otoczeniem przez układ. Zauważmy, że temperatura gazu maleje, czyli gaz oddaje ciepło do otoczenia. Wówczas zmiana temperatury ma postać:

$Δ T_{B \to C} = T_{B} - T_{C}$

$Δ T_{B \to C} = 2 T_{A} - T_{A}$

$Δ T_{B \to C} = T_{A}$

gdzie:

$Δ T_{B \to C}$ - zmiana temperatury gazu w przemianie B→C.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q = n C_{p} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Dla gazu doskonałego spełniona jest zależność:

$C_{p} - C_{V} = R$

gdzie:

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$R$ - stała gazowa.

Wówczas ciepło molowe przy stałym ciśnieniu ma postać:

$C_{p} - C_{V} = R ∣ + C_{V}$

$C_{p} = R + C_{V}$

$C_{p} = R + \frac{3}{2} R$

$C_{p} = \frac{5}{2} R$

Zatem ciepło oddane przez gaz w tym otoczeniu ma postać:

$Q_{B \to C} = n C_{p} Δ T_{B \to C}$

gdzie:

$Q_{B \to C}$ - ciepło oddane do otoczenia w przemianie B→C.

Oznacza to, że otrzymujemy:

$Q_{B \to C} = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot T_{A}$

$Q_{B \to C} = \frac{5}{2} n R T_{A}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{B \to C} = \frac{5}{2} \cdot 2 mole \cdot 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 963 K =$

$= 5 \cdot 8, 31 \cdot 963 J = 40012, 65 J \approx 40013 J$

Odpowiedź: W poszczególnych przemianach prace i ciepła wynoszą:

▶ praca w przemianie A→B: $W_{A \to B} = 0$ ,

▶ praca wykonana przez gaz w przemianie B→C: $W_{B \to C} = 16000 J$ ,

▶ ciepło pobrane przez gaz w przemianie A→B: $Q_{A \to B} \approx 24008 J$ ,

▶ ciepło oddane do otoczenia w przemianie B→C: $Q_{B \to C} \approx 40013 J$ .

$4.$

W przemianie AB wzrosła temperatura gazu, czyli energia wewnętrzna w tej przemianie również wzrosła.

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

1.9. Termodynamika i właściwości materii

Premium

11:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.4. Energia mechaniczna

Premium

12:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

1.5. Hydrostatyka

Premium

11:43

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.