Wykaż, wykonując odpowiednie obliczenia, że przy stałej odległości...- Zadanie 7.2: NOWA Teraz matura. Fizyka. Do matury 2024

Rozwiązanie

Naszym zadaniem jest wykazanie, że jeżeli odległość przedmiotu i ekranu pozostają stałe i spełniony będzie pewien warunek, to mamy dwa położenia soczewki, dla których otrzymamy ostry obraz. Wiemy, że musi być spełniony warunek:

$l > 4 f$

gdzie:

$l$ - odległość między przedmiotem a ekranem,

$f$ - ogniskowa soczewki.

Wiemy, że odległość między przedmiotem a ekranem jest stała, a pomiędzy nimi znajduje się soczewka, więc możemy zapisać równanie:

$l = x + y$

gdzie:

$x$ - odległość soczewki od przedmiotu,

$y$ - odległość soczewki od ekranu.

Chcemy udowodnić, że są dwa różne położenia soczewki, w której otrzymamy obraz, więc możemy zapisać:

$x_{1} = x_{2}$

gdzie:

$x_{1}$ i $x_{2}$ - położenia soczewki, w których otrzymujemy obraz.

Wiemy, że odległość ekranu od soczewki - czyli odległość obrazu - oraz odległość przedmiotu od soczewki są ze sobą związane równaniem soczewki:

RÓWNANIE SOCZEWKI

Równanie soczewki opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od soczewki a długością ogniskowej. Ma ono postać:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

Przekształćmy powyższe równanie tak, aby otrzymać równanie na odległość obrazu od soczewki:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ∣ - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} = \frac{x}{f x} - \frac{f}{f x}$

$\frac{1}{y} = \frac{x - f}{f x}$

Odwracamy obie strony powyższego równania:

$y = \frac{f x}{x - f}$

Podstawiamy to równanie do wzoru na odległość między przedmiotem a ekranem i otrzymujemy:

$l = x + \frac{f x}{x - f}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby pozbyć się ułamka:

$l = \frac{x \cdot ( x - f ) + f x}{x - f} ∣ \cdot (x - f)$

$l (x - f) = x^{2} - f x + f x$

$l x - l f = x^{2} ∣ - x^{2}$

$- x^{2} + l x - l f = 0$

Jak widzimy, jest to równanie kwadratowe.

FUNKCJA KWADRATOWA

Postać ogólna funkcji kwadratowej to:

$a x^{2} + b x + c = 0$

gdzie:

$a, b, c$ - liczby rzeczywiste, przy czym $a \neq = 0$ .

Delta równania kwadratowego ma postać:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Jeżeli $Δ < 0$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Jeżeli $Δ = 0$ to równanie ma jedno rozwiązanie:

$x_{1} = \frac{- b}{2 a}$

Jeżeli $Δ > 0$ to równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

W naszym przypadku rozwiązania tego równania będą oznaczać odległości soczewki od przedmiotu. Chcemy pokazać, że istnieją dwa położenia soczewki, dla których powstaje ostry obraz, więc powyższe równanie musi mieć dwa rozwiązania - czyli delta musi być większa od zera. Dla naszego przypadku delta wynosi:

$Δ = l^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- l f) = l^{2} - 4 l f$

Chcemy, aby delta była większa od zera, więc możemy zapisać:

$l^{2} - 4 l f > 0$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać prostszą nierówność:

$l^{2} - 4 l f > 0 ∣ + 4 l f$

$l^{2} > 4 l f$

Wiemy, że $l$ określa odległość między ekranem i obrazem, zatem na pewno będzie większa od zera, więc możemy podzielić nierówność przez tą wartość:

$l^{2} > 4 l f ∣ : l$

$l > 4 f$

Jak widzimy, jest to dokładnie warunek podany na początku zadania. Oznacza to, że jeśli warunek ten jest spełniony, to otrzymamy obraz dla dwóch różnych położeń soczewki.