Naszym zadaniem jest wykazanie, że jeżeli odległość przedmiotu i ekranu pozostają stałe i spełniony będzie pewien warunek, to mamy dwa położenia soczewki, dla których otrzymamy ostry obraz. Wiemy, że musi być spełniony warunek:
gdzie:
- odległość między przedmiotem a ekranem,
- ogniskowa soczewki.
Wiemy, że odległość między przedmiotem a ekranem jest stała, a pomiędzy nimi znajduje się soczewka, więc możemy zapisać równanie:
gdzie:
- odległość soczewki od przedmiotu,
- odległość soczewki od ekranu.
Chcemy udowodnić, że są dwa różne położenia soczewki, w której otrzymamy obraz, więc możemy zapisać:
gdzie:
i - położenia soczewki, w których otrzymujemy obraz.
Wiemy, że odległość ekranu od soczewki - czyli odległość obrazu - oraz odległość przedmiotu od soczewki są ze sobą związane równaniem soczewki:
Przekształćmy powyższe równanie tak, aby otrzymać równanie na odległość obrazu od soczewki:
Odwracamy obie strony powyższego równania:
Podstawiamy to równanie do wzoru na odległość między przedmiotem a ekranem i otrzymujemy:
Przekształcamy powyższe równanie tak, aby pozbyć się ułamka:
Jak widzimy, jest to równanie kwadratowe.
W naszym przypadku rozwiązania tego równania będą oznaczać odległości soczewki od przedmiotu. Chcemy pokazać, że istnieją dwa położenia soczewki, dla których powstaje ostry obraz, więc powyższe równanie musi mieć dwa rozwiązania - czyli delta musi być większa od zera. Dla naszego przypadku delta wynosi:
Chcemy, aby delta była większa od zera, więc możemy zapisać:
Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać prostszą nierówność:
Wiemy, że określa odległość między ekranem i obrazem, zatem na pewno będzie większa od zera, więc możemy podzielić nierówność przez tą wartość:
Jak widzimy, jest to dokładnie warunek podany na początku zadania. Oznacza to, że jeśli warunek ten jest spełniony, to otrzymamy obraz dla dwóch różnych położeń soczewki.
Mateusz Bajda
Nauczyciel fizyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

