Dane:

${\alpha }_A=5^{\circ }$  

${\alpha }_B={25}^{\circ }$  

$n_p=1$  

Szukane:

$n_k=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Zaznaczmy podane w treści zadania kąty na rysunku:

Do obliczenia wartości współczynnika załamania wykorzystać możemy prawo Snella.

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$  

gdzie:

$\alpha$   - kąt padania,

$\beta$   - kąt załamania,

$v_1$  - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_2$  - szybkość światła, w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_1$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje. 

W naszym przypadku mamy:

$\alpha ={\alpha }_B$  

$n_1=n_p$  

$n_2=n_k$   

Zatem wzór na szukany współczynnik załamania kuli przyjmuję w naszym przypadku postać:

$\frac{\sin {\alpha }_B}{\sin \beta }=\frac{n_k}{n_p}\text{|}\cdot n_p$  

$n_k=\frac{\sin {\alpha }_B}{\sin \beta }{n}_p$  

Oznaczmy na rysunku (kolorem pomarańczowym) kąt  $\beta$  , który jest potrzebny do wyznaczenia wartości współczynnika załamania:

Zauważmy, że w środku kuli mamy trójkąt równoramienny rozwartokątny, ponieważ dwa z jego ramion mają długość promienia kuli:

Zatem mamy taki sam kąt  $\beta$  :

Idąc dalej oznaczmy kąt ABO jako  $\gamma$  

Zauważmy, że:

${\alpha }_B+\gamma ={180}^{\circ }$  

oraz:

${\alpha }_A+\gamma +\beta +\beta ={180}^{\circ }$  

 

Z pierwszego równania mamy więc:

${\alpha }_B+\gamma ={180}^{\circ }\text{|}-{\alpha }_B$  

$\gamma ={180}^{\circ }-{\alpha }_B$  

Wprowadzając do równania drugiego otrzymujemy:

${\alpha }_A+\gamma +\beta +\beta ={180}^{\circ }$  

${\alpha }_A+{180}^{\circ }-{\alpha }_B+2\beta ={180}^{\circ }\text{|}-{180}^{\circ }$  

${\alpha }_A-{\alpha }_B+2\beta =0\text{|}-\left({\alpha }_A-{\alpha }_B\right)$  

$2\beta =-\left({\alpha }_A-{\alpha }_B\right)$  

$2\beta =-{\alpha }_A+{\alpha }_B\text{| : }2$  

$\beta =\frac{{\alpha }_B-{\alpha }_A}{2}$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$\beta =\frac{{25}^{\circ }-5^{\circ }}{2}=\frac{{20}^{\circ }}{2}={10}^{\circ }$  

 

Dzięki wyznaczeniu wartości kąta  $\beta$  możemy wyznaczyć wartość współczynnika załamania kuli:

$n_k=\frac{\sin {\alpha }_B}{\sin \beta }{n}_p$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$n_k=\frac{\sin {25}^{\circ }\left\{\sin {10}^{\circ }\right\}\cdot 1}{}$  

Z tablic odczytujemy:

$\sin {25}^{\circ }=0,4226$  

$\sin {10}^{\circ }=0,1736$  

Zatem:

$n_k=\frac{0,4226}{0,1736}\approx 2,434341797\approx 2,43$  

Odpowiedź: Wartość współczynnika załamania dla kuli wynosi około 2,43.