Dane:

$R=5\text{cm}$  

$d_s=7500\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$d_w=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

Szukane:

$x=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że złączona kula jest szczelna i pływa w wodzie całkowicie zanurzona. Zatem wartość jej siły ciężkości równoważy wartość siły wyporu z jaką woda działa na zanurzone połączone półkule.

$F_g=F_w$  

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$F_w$ - wartość siły wyporu.

Wartość siły ciężkości jest dana wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

W przypadku zadania masa kuli jest równa masie jaką ma ścianka kuli, ponieważ wnętrze kuli jest puste. Z definicji gęstości wiemy, że:

$d=\frac{m}{V}$  

gdzie:

$d$ - gęstość ciała,

$m$  - masa ciała,

$V$  - objętość ciała. 

Zatem masa ciała jest dana wzorem:

$d=\frac{m}{V}\text{|}\cdot V$  

$m=dV$  

Masa ścianki kuli, czyli masa całej kuli, jest więc dana wzorem:

$m_x=d_s{V}_x$  

Odpowiednio objętość kuli o promieniu wewnętrznym i zewnętrznym są opisane wzorami:

▶ Kula o promieniu  $R$  

$V_R=\frac{4}{3}\pi R^3$  

▶ Kula o promieniu  $r$  

$V_r=\frac{4}{3}\pi r^3$  

Objętość ścianki kuli jest różnicą pomiędzy objętością kuli o promieniu  $R$  a objętością kuli o promieniu  $r$  :

$V_x=V_R-V_r$  

$V_x=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3$  

Grubość ścianki kuli jest równa różnicy pomiędzy promieniem zewnętrznym a promieniem wewnętrznym:

$x=R-r$  

Korzystając ze wzoru na promień wewnętrzny:

$x=R-r\text{|}+r$  

$x+r=R\text{|}-x$  

$r=R-x$  

otrzymujemy, że objętość ścianki jest dana wzorem:

$V_x=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3$  

$V_x=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi {\left(R-x\right)}^3$  

$V_x=\frac{4}{3}\pi \left(R^3-{\left(R-x\right)}^3\right)$  

Wówczas wzór na masę ścianki  przyjmuję postać:

$m_x=d_s{V}_x$  

$m_x=\frac{4}{3}\pi d_s\left(R^3-{\left(R-x\right)}^3\right)$  

Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=dgV$  

gdzie: 

$d$  - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,  

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V$  - objętością wypartej cieczy równą objętości części ciała zanurzonego w płynie. 

W przypadku z treści zadania wiemy, że cała kula znajduję się w wodzie, zatem wartość siły wyporu działającej na kulę opisuje wzór:

$F_w=d_{w}g{V}_R$  

$F_w=d_{w}g\frac{4}{3}\pi R^3$  

Korzystając z równoważności wartości siły wyporu oraz wartości siły ciężkości otrzymujemy, że wzór na grubość ścianki przyjmuję postać:

$F_w=F_g$  

$d_{w}g{V}_R=m_{x}g$  

$d_w\cancel{g}{V}_R=d_s{V}_x\cancel{g}$  

$d_w{V}_R=d_s{V}_x$  

$d_w\frac{4}{3}\pi R^3=d_s\frac{4}{3}\pi \left(R^3-{\left(R-x\right)}^3\right)\text{| : }\frac{4}{3}\pi$  

$d_w{R}^3=d_s\left(R^3-{\left(R-x\right)}^3\right)$  

$d_w{R}^3=d_s{R}^3-d_s{\left(R-x\right)}^3\text{|}+d_s{\left(R-x\right)}^3$  

$d_w{R}^3+d_s{\left(R-x\right)}^3=d_s{R}^3\text{|}-d_w{R}^3$  

$d_s{\left(R-x\right)}^3=d_s{R}^3-d_w{R}^3$  

$d_s{\left(R-x\right)}^3=\left(d_s-d_w\right)R^3\text{| : }{d}_s$  

${\left(R-x\right)}^3=\frac{d_s-d_w}{d_s}{R}^3\text{|}\sqrt[3]{}$  

$R-x=\sqrt[3]{\frac{d_s-d_w}{d_s}{R}^3}$  

$R-x=\sqrt[3]{\frac{d_s-d_w}{d_s}}R\text{|}+x$  

$R=\sqrt[3]{\frac{d_s-d_w}{d_s}}R+x\text{|}-\sqrt[3]{\frac{d_s-d_w}{d_s}}R$  

$R-\sqrt[3]{\frac{d_s-d_w}{d_s}}R=x$  

$x=\left(1-\sqrt[3]{\frac{d_s-d_w}{d_s}}\right)R$  

$x=\left(1-\sqrt[3]{\frac{d_s}{d_s}-\frac{d_w}{d_s}}\right)R$  

$x=\left(1-\sqrt[3]{1-\frac{d_w}{d_s}}\right)R$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$x=\left(1-\sqrt[3]{1-\frac{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{7500\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}\right)\cdot 5\text{cm}=$  

$=\left(1-\sqrt[3]{1-\frac{10}{75}}\right)\cdot 5\text{cm}=$  

$=\left(1-\sqrt[3]{1-\frac{2}{15}}\right)\cdot 5\text{cm}=$  

$=\left(1-\sqrt[3]{\frac{15}{15}-\frac{2}{15}}\right)\cdot 5\text{cm}=$  

$=\left(1-\sqrt[3]{\frac{13}{15}}\right)\cdot 5\text{cm}=$  

$\approx \left(1-0,9534\right)\cdot 5\text{cm}=$  

$=0,0466\cdot 5\text{cm}=$  

$=0,233\text{cm}\approx 0,2\text{cm}$  

Odpowiedź: Grubość ścianki kuli wynosi około 0,2 cm.