Na rysunku 1.2 przedstawiono pary wektorów o wartościach...- Zadanie 1: Fizyka 2. Zakres rozszerzony. Wydanie 2023

Rozwiązanie

$a)$

Uzasadnienie:

Zadaniem naszym jest określenie cech każdego z przedstawionych wektorów. Cechy każdego wektora to:

długość,
kierunek,
zwrot.

Zatem zadaniem naszym jest wyznaczenie długości każdego z wektorów oraz określenie ich kierunków i zwrotów. Zauważmy, że każdy z przedstawionych wektorów jest iloczynem wektorowym dwóch innych wektorów. Wartość długości wektora będącego iloczynem wektorowym opisuje wzór:

$∣ c ∣ = ∣ a ∣ b sin α$

gdzie:

$c, a, b$ - wektory,

$c$ - wektor będący iloczynem wektora $a$ i $b$ ,

$α$ - kąt między wektorem $a$ i $b$ .

Zwrot wektora będącego iloczynem wektorowym dwóch wektorów określa reguła prawej dłoni (lub tzw. reguła śruby prawoskrętnej), natomiast kierunek wektora $c$ jest zawsze prostopadły do płaszczyzny, którą określają wektory $a$ i $b$ .

Zauważmy dodatkowo, że każdy z przedstawionych wektorów jest wektorem jednostkowym, czyli jego długość wynosi 1:

$∣ a ∣ = b = d = ∣ e ∣ = ∣ g ∣ = h = 1$

▶ Wektor $c$ :

$c = a \times b$

Z rysunku wynika, że kąt pomiędzy tymi wektorami wynosi:

$∠ (a, b) = α = 6 0^{\circ}$

Zatem długość (lub wartość) tego wektora wynosi:

$∣ c ∣ = ∣ a ∣ \cdot b \cdot sin α$

$∣ c ∣ = 1 \cdot 1 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$

Kierunek wektora $c$ jest prostopadły do płaszczyzny, którą określają wektory $a$ i $b$ , czyli wektor $c$ jest jednocześnie prostopadły do wektora $a$ i wektora $b$ . Wyciągamy z tego wniosek, że wektor $c$ ma kierunek wzdłuż linii prostopadłej do płaszczyzny kartki. Do określenia zwrotu wektora $c$ posłużymy się regułą prawej dłoni, czyli układamy cztery zakrzywione palce tak, żeby skierowane były od wektora $a$ do wektora $b$ . Wówczas wystający kciuk będzie wskazywał na zwrot wektora $c$ , czyli zwrot za kartkę co oznaczamy jako ⊗.

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania!

Warto pamiętać, że w regule prawej dłoni zawsze zwracamy cztery zakrzywione palce od pierwszego wektora zapisanego w iloczynie wektorowym. Załóżmy, że chcemy narysować wektory $c$ zdefiniowany jako:

$c = a \times b$

Wówczas zwrot wektora $c$ będzie określony przez wystający kciuk, gdy zakrzywione cztery palce skierujemy od wektora $a$ do wektora $b$ . Jeżeli wykonamy to odwrotnie to wówczas otrzymamy zwrot przeciwny do wektora $c$ , czyli wtedy wyznaczymy wektor:

$b \times a = - a \times b = - c$

Wektor ten będzie przeciwny do wektora $c$ , czyli będzie miał tą samą długość i kierunek, ale przeciwny zwrot.

▶ Wektor $f$ :

$f = d \times e$

Z rysunku wynika, że kąt pomiędzy tymi wektorami wynosi:

$∠ (d, e) = α = 9 0^{\circ}$

Zatem wartość tego wektor wynosi:

$f = d \cdot ∣ e ∣ \cdot sin α$

$f = 1 \cdot 1 \cdot sin 9 0^{\circ} = 1$

Kierunek wektora $f$ jest prostopadły do płaszczyzny, którą określają wektory $d$ i $e$ , czyli wektor $f$ jest jednocześnie prostopadły do wektora $d$ i wektora $e$ . Wyciągamy z tego wniosek, że wektor $f$ ma kierunek wzdłuż linii równoległej do płaszczyzny kartki. Do określenia zwrotu wektora $f$ posłużymy się regułą prawej dłoni, czyli układamy cztery zakrzywione palce tak, żeby skierowane były od wektora $d$ do wektora $e$ . Wówczas wystający kciuk będzie wskazywał na zwrot wektora $f$ , czyli zwrot w lewy dolny róg kartki.

▶ Wektor $j$ :

$j = g \times h$

Z rysunku wynika, że kąt pomiędzy tymi wektorami wynosi:

$∠ (g, h) = α = 9 0^{\circ}$

Zatem wartość tego wektor wynosi:

$j = ∣ g ∣ \cdot h \cdot sin α$

$j = 1 \cdot 1 \cdot sin 9 0^{\circ} = 1$

Kierunek wektora $j$ jest prostopadły do płaszczyzny, którą określają wektory $g$ i $h$ , czyli wektor $j$ jest jednocześnie prostopadły do wektora $g$ i wektora $h$ . Wyciągamy z tego wniosek, że wektor $j$ ma kierunek wzdłuż linii równoległej do płaszczyzny kartki. Do określenia zwrotu wektora $j$ posłużymy się regułą prawej dłoni, czyli układamy cztery zakrzywione palce tak, żeby skierowane były od wektora $g$ do wektora $h$ . Wówczas wystający kciuk będzie wskazywał na zwrot wektora $j$ , czyli zwrot w lewy górny róg kartki.