Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości liniowej Księżyca po orbicie kołowej względem środka masy układu Ziemia - Księżyc:

$v_K=\sqrt{\frac{G{M}_Z^2}{d\left(M_K+M_Z\right)}}$

gdzie:

$v_K$ - wartość prędkości liniowej Księżyca względem jego środka masy, 

$G$ - stała grawitacji, 

$M_Z$ - masa Ziemi,

$M_K$ - masa Księżyca, 

$d$ - odległość Ziemia - Księżyc. 

 

Mamy układ Ziemia - Księżyc, które krążą wokół wspólnego środka masy (nazywanego również barycentrum). Środek ten znajduje się znacznie bliżej Ziemi, ponieważ ma ona znacznie większą Masę niż Księżyc. Zauważmy wówczas, że: 

gdzie:

$r_Z$ - odległość Ziemi od środka masy układu, 

$r_K$ - odległość Księżyca od środka masy układu. 

Pomiędzy Ziemią, a Księżycem działa siła grawitacji, która pełni rolę siły dośrodkowej:

$F_{\text{g}}=F_{\text{d}}$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji, 

$F_{\text{d}}$ - wartość siły dośrodkowej. 

Wartość siły grawitacji działającej pomiędzy Ziemią, a Księżycem przedstawimy wzorem:

$F_{\text{g}}=\frac{G{M}_Z{M}_K}{d^2}$

Zauważmy jednak, że Księżyc obraca się wokół środka masy układu, który jest odległy od niego o $r_K$. Zatem wartość siły dośrodkowej przedstawiamy wzorem:

$F_{\text{d}}=\frac{M_K{v}_K^2}{r_K}$

Wyznaczmy środek masy układu Ziemia - Księżyc od punktu znajdującego się w środku Księżyca:

$r_K=\frac{M_K\cdot 0+M_{Z}d}{M_K+M_Z}$

$r_K=\frac{M_{Z}d}{M_K+M_Z}$

Porównując zależności na wartości siły otrzymamy:

$F_{\text{d}}=F_{\text{g}}$

$\frac{\cancel{M_K}{v}_K^2}{r_K}=\frac{G{M}_Z\cancel{M_K}}{d^2}|\cdot r_K$

$v_K^2=\frac{G{M}_Z}{d^2}\cdot r_K$

$v_K^2=\frac{G{M}_Z}{d^{\cancel{2}}}\cdot \frac{M_Z\cancel{d}}{M_K+M_Z}$

$v_K^2=\frac{G{M}_Z^2}{d\left(M_K+M_Z\right)}$

$v_K=\sqrt{\frac{G{M}_Z^2}{d\left(M_K+M_Z\right)}}$

Co należało wykazać!