$\mathbf{a})$

Dane:

$\Delta T=200\mathrm{K}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K}}$ .

Szukane:

$\Delta U_{N_2}=?$

$\Delta U_{He}=?$

Rozwiązanie:

Zapiszmy wzór na zmianę energii wewnętrznej azotu:

$\Delta U_{N_2}=\frac{N_{N_2}{i}_{N_2}k}{2}\Delta T$  

gdzie:

$\Delta U_{N_2}$ - zmiana energii wewnętrznej azotu,

$N_{N_2}$ - liczba cząsteczek azotu w zbiorniku,

$i_{N_2}$ - liczba stopni swobody cząsteczki azotu,

$k$ - stała Boltzmanna,

$\Delta T$ - zmiana temperatury gazu.

Stałą Boltzmanna i możemy wyrazić jako stosunek stałej gazowej do liczby Avogadro:

$k=\frac{R}{N_A}$   

gdzie:

$R$ - stała gazowa,

$N_A$ - liczba Avogadro.

Liczbę cząsteczek azotu możemy wyznaczyć z zależności:

$N=n_{N_2}\cdot N_A$  

gdzie:

$n_{N_2}$ - liczba moli azotu.

Wówczas otrzymujemy, że wzór na zmianę energii wewnętrznej ma postać:

$\Delta U_{N_2}=\frac{N_{N_2}{i}_{N_2}k}{2}\Delta T$

$\Delta U_{N_2}=\frac{n_{N_2}\cdot \cancel{N_A}{i}_{N_2}\cdot \frac{R}{\cancel{N_A}}}{2}\Delta T$

$\Delta U_{N_2}=\frac{n_{N_2}\cdot i_{N_2}\cdot R}{2}\Delta T$

$\Delta U_{N_2}=\frac{i_{N_2}}{2}{n}_{N_2}R\Delta T$

 Azot występuje w stanie wolnym w postaci dwuatomowej oraz każda cząsteczka ma trzy współrzędne położenia. Oznacza to, że:

$i_{N_2}=5$  

Wzór na zmianę energii wewnętrznej przyjmuje więc postać:

$\Delta U_{N_2}=\frac{5}{2}{n}_{N_2}R\Delta T$

Wstawiamy dane liczbowe:

$\Delta U_{N_2}=\frac{5}{2}\cdot 1\cancel{\text{mol}}\cdot 8,31\frac{\mathrm{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \cancel{\mathrm{K}}}\cdot 200\cancel{\mathrm{K}}\approx 4160\mathrm{J}$

W analogiczny sposób możemy zapisać wzór dla helu:

$\Delta U_{He}=\frac{i_{He}}{2}{n}_{He}R\Delta T$

gdzie:

$\Delta U_{He}$ - zmiana energii wewnętrznej helu,

$i_{He}$ - liczba stopni swobody helu,

$n_{He}$ - liczba moli helu.

Hel występuje w stanie wolnym w postaci jednoatomowej i ma trzy współrzędne położenia. Oznacza to, że:

$i_{He}=3$  

Wzór na zmianę energii wewnętrznej przyjmuje więc postać:

$\Delta U_{He}=\frac{3}{2}{n}_{He}R\Delta T$

Wstawiamy dane liczbowe:

$\Delta U_{N_2}=\frac{3}{2}\cdot 1\cancel{\text{mol}}\cdot 8,31\frac{\mathrm{J}}{\cancel{\text{mol}}\cdot \cancel{\mathrm{K}}}\cdot 200\cancel{\mathrm{K}}\approx 2490\mathrm{J}$ 

Odpowiedź: Energia wewnętrzna azotu zmieniła się o około 4 160 J, a energia wewnętrzna helu o około 2 490 J.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$\Delta T=200\mathrm{K}$  

$n_{N_2}=1\text{mol}$   

$n_{He}=1\text{mol}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała Boltzmanna: $k=1,38\cdot 10^{-23}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$.

Szukane:

$\Delta {\overline{E}}_{k{N}_2}=?$

$\Delta {\overline{E}}_{kHe}=?$

Rozwiązanie:

Zmianę średniej energii kinetycznej wyrażamy poprzez zależność:

$\Delta {\overline{E}}_k=\frac{i}{2}k\Delta T$  

gdzie:

$\Delta {\overline{E}}_k$ - zmiana średniej energii kinetycznej,

$i$ - liczba stopni swobody,

$k$ - stała Boltzmanna,

$\Delta T$ - zmiana temperatury.

Liczba stopni swobody dla dwuatomowych cząsteczek azotu wynosi 5, dlatego zmianę średniej energii kinetycznej dla jego cząsteczek zapiszemy jako:

$\Delta {\overline{E}}_{k{N}_2}=\frac{5}{2}k\Delta T$

gdzie:

$\Delta {\overline{E}}_{k{N}_2}$ - zmiana średniej energii kinetycznej cząsteczek azotu.

Wstawiamy dane liczbowe:

$\Delta {\overline{E}}_{k{N}_2}=\frac{5}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\cdot 200\mathrm{K}=690\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}=$

$=6,9\cdot {10}^2\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}=6,9\cdot {10}^{-21}\mathrm{J}$

Liczba stopni swobody dla jednoatomowych cząsteczek helu wynosi 3, dlatego zmianę średniej energii kinetycznej dla jego cząsteczek zapiszemy jako:

$\Delta {\overline{E}}_{kHe}=\frac{3}{2}k\Delta T$

gdzie:

$\Delta {\overline{E}}_{kHe}$ - zmiana średniej energii kinetycznej cząsteczek helu.

Wstawiamy dane liczbowe:

$\Delta {\overline{E}}_{kHe}=\frac{3}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\cdot 200\mathrm{K}=414\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}=$  

$=4,14\cdot {10}^2\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}=4,14\cdot {10}^{-21}\mathrm{J}$

Odpowiedź: Średnia energia kinetyczna cząsteczki azotu wynosi 6,9∙10^-21 J, a helu 4,14∙10^-21 J.

 

$\mathbf{c})$

Dane:

$\Delta T=200\mathrm{K}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała Boltzmanna: $k=1,38\cdot 10^{-23}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$.

Szukane:

$\Delta {\overline{E}}_{k\text{post.}}=?$

Rozwiązanie:

Korzystamy z zasady ekwipartycji energii, czyli na każdy stopień swobody przypada taka sama średnia energia kinetyczna. Każdy atom ma trzy współrzędne położenia. Oznacza to, że zmiana średniej energii kinetycznej ruchu postępowego dla azotu i helu będzie taka sama. Możemy wówczas zapisać, że:

$\Delta {\overline{E}}_{k\text{post.}}=\frac{3}{2}k\Delta T$  

gdzie:

$\Delta {\overline{E}}_{k\text{post.}}$ - zmiana średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczki azotu oraz helu,

$k$ - stała Boltzmanna,

$\Delta T$ - zmiana temperatury.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta {\overline{E}}_{k\text{post.}}=\frac{3}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}\cdot 200\mathrm{K}=414\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}=$     

$=4,14\cdot {10}^2\cdot {10}^{-23}\mathrm{J}=4,14\cdot {10}^{-21}\mathrm{J}$

Odpowiedź: Zmiana średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczki azotu oraz helu jest taka sama i wynosi 4,14∙10^-21 J.