$\mathbf{a})$

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzoru na szybkość kątową gwiazdy po zmniejszeniu się jej promienia o 25%, zależnego od wielkości $M$, $R$ oraz $\omega$.

Jeżeli przyjmiemy, że gwiazda jest kulą, to jej moment bezwładności przez skurczeniem się będzie miał postać:

$I_0=\frac{2}{5}M{R}^2$  

gdzie:

$I_0$ - moment bezwładności gwiazdy przed skurczeniem,

$M$ - masa gwiazdy,

$R$ - promień gwiazdy przed skurczeniem.

Gwiazda wiruje z szybkością kątową $\omega$ , czyli jej moment pędu wynosi:

$L_0=I_0\omega$  

gdzie:

$L_0$ - moment pędu gwiazdy przed skurczeniem,

$\omega$ - szybkość kątowa gwiazdy.

Korzystając z wyrażenia na moment bezwładności możemy zapisać:

$L_0=\frac{2}{5}M{R}^2\omega$

Gwiazda kurczy się i jej promień wynosi:

$R{}^{\prime }=R-25\%R$  

gdzie:

$R^{\prime }$ - promień planety po skurczeniu.

Wyrażenie na promień możemy uprościć do postaci:

$R{}^{\prime }=R-0,25R$

$R^{\prime }=0,75R$

Masa gwiazdy nie ulega zmianie, czyli jej moment bezwładności po skurczeniu ma postać: