$\mathrm{5.1.}$

Dane:

$R_Z=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

$T=24\text{h}=24\cdot 3,6\cdot {10}^3\text{s}=86,4\cdot {10}^3\text{s}=8,64\cdot {10}^4\text{s}$  

$G{M}_Z=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

${\pi }^2=10$  

Szukane:

$\frac{r^3}{T^2}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości ilorazu $\frac{r^3}{T^2}$ dla satelitów Ziemi. Musimy przedstawić ten iloraz za pomocą znanych wielkości. Iloraz ten wynika z faktu, że siła grawitacji odpowiada sile dośrodkowej w ruchu po okręgu:

$F_d=F_g$

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$F_g$ - wartość siły grawitacji.

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$

gdzie:

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się to ciało. 

Szybkość liniową ciała w ruchu po okręgu przedstawiamy wzorem:

$v=\frac{2\pi r}{T}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres obiegu.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy Ziemią a satelitą przedstawiamy wzorem:

$F_{\text{g}}=\frac{G{M}_{Z}m}{r^2}$

gdzie:

$G$  - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$m$ - masa satelity.

Wówczas otrzymujemy zależność:

$F_d=F_g$  

$\frac{\cancel{m}{v}^2}{r}=\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{r^2}$  

$\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{r}=\frac{G{M}_Z}{r^2}$  

$\frac{\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}{r}=\frac{G{M}_Z}{r^2}$  

$\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}=\frac{G{M}_Z}{r^2}\mid \cdot r^2$  

$\frac{4{\pi }^2{r}^3}{T^2}=G{M}_Z\mid :4{\pi }^2$  

$\frac{r^3}{T^2}=\frac{G{M}_Z}{4{\pi }^2}$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$\frac{r^3}{T^2}=\frac{4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{4\cdot 10}={10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

Odpowiedź: Dla satelitów Ziemi iloraz wynikający z trzeciego prawa Keplera ma wartość 10¹³ m³/s².

 

$\mathrm{5.2.}$  

Dane:

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$\frac{r^3}{T^2}={10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ okres ruchu obrotowego Ziemi: $T=24\text{h}=8,64\cdot {10}^4\text{s}$.

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Orbita geostacjonarna to taka, dla której okres obiegu satelity odpowiada okresowi ruchu obrotowego Ziemi. Przekształcamy wzór wynikający z trzeciego prawa Keplera, aby uzyskać wyrażenie na promień orbity:

$\frac{r^3}{T^2}={10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}|\cdot T^2$

$r^3={10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot T^2\mid \sqrt[3]{}$  

$r=\sqrt[3]{{10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot T^2}$  

Wstawiamy wartość liczbową:

$r=\sqrt[3]{{10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(8,64\cdot {10}^4\text{s}\right)}^2}$  

$r=\sqrt[3]{{10}^{13}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot 74,6496\cdot {10}^8{\text{s}}^2}$  

$r=\sqrt[3]{74,6496\cdot {10}^{21}{\text{m}}^3}$  

$r\approx 4,21\cdot {10}^7\text{m}$  

Odpowiedź: Promień orbity geostacjonarnej wynosi około 4,21∙10⁷ m.

 

$\mathrm{5.3.}$  

Dane:

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$r=4,2\cdot {10}^7\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ okres ruchu obrotowego Ziemi: $T=24\text{h}=8,64\cdot {10}^4\text{s}$.

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Szybkość satelity obliczymy ze wzoru:

$v=\frac{2\pi r}{T}$  

gdzie:

$v$ - szybkość liniowa satelity,

$\pi$ - liczba π,

$r$ - promień orbity,

$T$ - okres obiegu.

Wstawiamy dane liczbowe:

$v=\frac{2\cdot 3,14\cdot 4,21\cdot {10}^7\text{m}}{8,64\cdot {10}^4\text{s}}=\frac{26,4388\cdot {10}^7\text{m}}{8,64\cdot {10}^4\text{s}}\approx$  

$\approx 3,06\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 3,1\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Szybkość liniowa satelity na orbicie geostacjonarnej wynosi około 3,1 km/s.

 

$\mathrm{5.4.}$

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na energię całkowitą satelity wyniesionego na orbitę geostacjonarną.

Całkowitą energię mechaniczną satelity na orbicie przedstawimy wzorem:

$E_{}=E_p+E_k$  

gdzie:

$E_{}$ - energia całkowita,

$E_p$ - energia potencjalna,

$E_k$ - energia kinetyczna.

Energię potencjalną ciała w centralnym polu grawitacyjnym Ziemi na orbicie geostacjonarnej przedstawimy wzorem:

$E_p=-\frac{Gm{M}_z}{r}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M_z$ - masa Ziemi,

$m$ - masa satelity,

$r$ - promień orbity geostacjonarnej.

Energię kinetyczną satelity przedstawimy jako:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$v$ - szybkość satelity.

Jednocześnie możemy zapisać wzór na szybkość satelity na orbicie:

$v=\sqrt{\frac{G{M}_z}{r}}$

Wówczas:

$E_k=\frac{m{\left(\sqrt{\frac{G{M}_z}{r}}\right)}^2}{2}$  

$E_k=\frac{m\frac{G{M}_z}{r}}{2}$

$E_k=\frac{Gm{M}_z}{2r}$

Korzystając z podanych wcześniej wzorów możemy zapisać:

$E=-\frac{Gm{M}_z}{r}+\frac{Gm{M}_z}{2r}$  

$E=-\frac{2Gm{M}_z}{2r}+\frac{Gm{M}_z}{2r}$  

$E=-\frac{G{M}_{z}m}{2r}$  

 

$\mathrm{5.5.}$

Dane:

$R_Z=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

$G{M}_Z=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

$m=100\mathrm{kg}$

$r=42200\mathrm{km}=42,2\cdot 10^6\mathrm{m}$

Szukane:

$W=?$

Rozwiązanie:

Minimalna praca potrzebna do wyprowadzenia satelity na orbitę jest równa zmianie jego energii całkowitej:

$W=\Delta E$

gdzie:

$W$ - praca potrzebna do wyprowadzenia satelity na orbitę,

$\Delta E$ - przyrost energii całkowitej.

Przyrost energii całkowitej przedstawimy jako:

$\Delta E=E-E_0$

gdzie:

$E$ - całkowita energia mechaniczna satelity na orbicie geostacjonarnej,

$E_0$ - całkowite energia mechaniczna satelity na powierzchni Ziemi.

Energię satelity na orbicie przedstawimy przy użyciu wzoru wyprowadzonego w poprzednim podpunkcie:

$E=-\frac{G{M}_{Z}m}{2r}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji, 

$M_Z$ - masa Ziemi, 

$m$ - masa satelity, 

$r$ - promień orbity geostacjonarnej. 

Energia potencjalna satelity na powierzchni Ziemi wynosi:

$E_{p.0}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}$  

gdzie:

$E_{p.0}$ - energia potencjalna satelity na powierzchni Ziemi,

$R_Z$ - promień Ziemi.

Kiedy satelita spoczywa na powierzchni Ziemi, posiada energię potencjalną, ale nie posiada energii kinetycznej:

$E_{k.0}=0$  

gdzie:

$E_{k.0}$ - energia kinetyczna satelity na powierzchni Ziemi.

Oznacza to, że całkowita energia mechaniczna satelity wynosi wówczas:

$E_0=E_{p.0}+E_{k.0}$  

$E_{c.0}$ - energia całkowita satelity na powierzchni Ziemi.

Korzystając z wymienionych zależności możemy zapisać:

$E_0=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}+0$  

$E_0=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}$  

Korzystając z powyższych wzorów możemy zapisać:

$W=\Delta E$

$W=E-E_0$

$W=-\frac{G{M}_{Z}m}{2r}-\left(-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}\right)$  

$W=-\frac{G{M}_{Z}m}{2r}+\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}$  

$W=\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}-\frac{G{M}_{Z}m}{2r}$  

$W=G{M}_{Z}m\left[\frac{1}{R_Z}-\frac{1}{2r}\right]$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot 100\text{kg}\cdot \left[\frac{1}{6,37\cdot {10}^6\text{m}}-\frac{1}{2\cdot 42,2\cdot {10}^6\text{m}}\right]=$  

$=400\cdot {10}^{14}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot \left[\frac{1}{6,37\cdot {10}^6\text{m}}-\frac{1}{84,4\cdot {10}^6\text{m}}\right]\approx$  

$\approx 4\cdot {10}^2\cdot {10}^{14}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot \left[0,15699\cdot {10}^{-6}\frac{1}{\text{m}}-0,01185\cdot {10}^{-6}\frac{1}{\text{m}}\right]=$  

$\approx 4\cdot {10}^{16}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot 0,14514\cdot {10}^{-6}\frac{1}{\text{m}}=$  

$=0,58056\cdot {10}^{10}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\approx 5,8\cdot {10}^9\text{J}=5,8\text{GJ}$  

Odpowiedź: Zmiana całkowitej energii mechanicznej satelity wynosi około 5,8 GJ.

 

$\mathrm{5.6.}$

Dane:

$G{M}_Z=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

$m=100\mathrm{kg}$

Z poprzednich podpunktów wiemy, że:

$W=\Delta E=5,8\text{GJ}$

$r=4,22\cdot {10}^7\text{m}$

Szukane:

$W_w=?$

$W_v=?$

Rozwiązanie:

Praca wykonana nad satelitą została wykorzystana na dwa sposoby  - do wyniesienia satelity na orbitę oraz do nadania jej prędkości, czyli zwiększenia energii kinetycznej:

$W=W_w+W_v$

gdzie:

$W$ - wykonana praca (równa zmianie energii całkowitej satelity),

$W_w$ - praca zużyta na wyniesienie satelity na orbitę (zwiększenie energii potencjalnej),

$W_v$ - praca zużyta na nadanie satelicie prędkości (zwiększenie energii kinetycznej).

Energia zużyta na nadanie satelicie energii kinetycznej będzie odpowiadała zmianie jego energii kinetycznej:

$W_v=E_k-E_{k.0}$  

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna satelity na orbicie,

$E_{k.0}$ - energia kinetyczna satelity na powierzchni Ziemi.

Na powierzchni Ziemi energia kinetyczna satelity jest zerowa, natomiast na orbicie można ją wyrazić wzorem:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$v$ - szybkość satelity,

$m$ - masa satelity.

Szybkość satelity w ruchu orbitalnym na obliczamy korzystając ze wzoru:

$v=\sqrt{\frac{G{M}_Z}{r}}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji, 

$M_Z$ - masa Ziemi, 

$r$ - promień orbity. 

Wstawiamy wyrażenie do wzoru na energię kinetyczną:

$E_k=\frac{m{\left(\sqrt{\frac{G{M}_Z}{r}}\right)}^2}{2}$  

$E_k=\frac{m\frac{G{M}_Z}{r}}{2}$  

$E_k=\frac{G{M}_{Z}m}{2r}$  

Oznacza to, że:

$W_v=\frac{G{M}_{Z}m}{2r}$  

Wstawiamy dane liczbowe:

$W_v=\frac{4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}\cdot 100\text{kg}}{2\cdot 4,22\cdot {10}^7\text{m}}=\frac{400\cdot {10}^{14}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{8,44\cdot {10}^7\text{m}}=$  

$\approx 47,5\cdot {10}^7\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=0,475\cdot {10}^9\text{J}=0,475\text{GJ}$  

Wówczas część pracy przeznaczona na nadanie energii kinetycznej wynosi:

$\frac{W_v}{W}=\frac{0,475\text{GJ}}{5,8\text{GJ}}\approx 0,08$   

Czyli:

$W_v=0,08W$  

Oznacza to, że pozostała energia została przeznaczona na wyniesienie satelity na orbitę:

$W_w=W-W_v$  

$W_w=W-0,08W$  

$W_w=0,92W$  

Odpowiedź: Na wyniesienie satelity na orbitę zużyto 0,92 wykonanej pracy, a na zwiększenie jej energii kinetycznej 0,08 całkowitej pracy.

 

$\mathbf{e})$

 Uzasadnienie: 

Zauważmy, że prace wykonane w celu zwiększenia energii kinetycznej oraz potencjalnej są związane z długością promienia orbity $r$ , po jakiej porusza się satelita.

 Odpowiedź: 

Proporcje ulegną zmianie w zależności od promienia orbity.