$\mathrm{1.1.}$

Dane:

$\alpha ={46}^{\circ }$

$G{M}_W=3,25\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ masa Ziemi: $M_Z=5,97\cdot 10^{24}\mathrm{kg}$,

▶ masa Słońca: $M_S=1,988\cdot 10^{30}\mathrm{kg}$,

▶ odległość Ziemi od Słońca: $r_Z=1,5\cdot {10}^{11}\text{m}$.

Szukane:

$F=?$  

Rozwiązanie: 

Wykonujemy rysunek pomocniczy, na którym oznaczamy odległości i zaznaczamy siły:

gdzie:

${\vec{F}}_{S-W}$ - siła, jaką Słońce przyciąga Wenus,

${\vec{F}}_{Z-W}$ - siła, jaką Ziemia przyciąga Wenus,

$\vec{F}$ - wypadkowa sił grawitacji,

$r_Z$ - odległość między Ziemią a Słońcem,

$r_{Z-W}$ - odległość między Ziemią a Wenus,

$r_{S-W}$ - odległość między Słońcem a Wenus.

Korzystając z funkcji sinus otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{r_{S-W}}{r_Z}$  

gdzie:

$\alpha$ - kąt między odcinkiem łączącym Ziemię z Wenus a odcinkiem łączącym Ziemię ze Słońcem.

Wyznaczamy wzór na odległość między Słońcem a Wenus:

$\sin \alpha =\frac{r_{S-W}}{r_Z}|\cdot r_Z$

$r_{S-W}=r_Z\sin \alpha$

Korzystając z funkcji cosinus otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{r_{Z-W}}{r_Z}$  

Stąd:

$\cos \alpha =\frac{r_{Z-W}}{r_Z}|\cdot r_Z$

$r_{Z-W}=r_Z\cos \alpha$

Wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_g=\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$m_1$  i $m_2$  - masy oddziałujących ciał,

$r$ - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Wartość siły grawitacji pomiędzy Ziemią i Wenus będzie wynosiła:

$F_{Z-W}=\frac{G{M}_W{M}_Z}{r_{Z-W}^2}$  

gdzie:

$F_{Z-W}$ - wartość siły przyciągania Ziemi i Wenus,

$M_W$ - masa Wenus,

$M_Z$ - masa Ziemi.

Wstawiamy wyznaczone wcześniej wyrażenie na odległość między Wenus a Ziemią:

$F_{Z-W}=\frac{G{M}_W{M}_Z}{{\left(r_Z\cos \alpha \right)}^2}$  

$F_{Z-W}=\frac{G{M}_W{M}_Z}{r_Z^2{\cos }^2\alpha }$  

Wartość siły grawitacji pomiędzy Słońcem i Wenus będzie wynosiła:

$F_{S-W}=\frac{G{M}_W{M}_S}{r_{S-W}^2}$  

gdzie:

$F_{S-W}$ - wartość siły przyciągania Słońca i Wenus,

$M_S$ - masa Słońca.

Wstawiamy wyznaczone wcześniej wyrażenie na odległość między Wenus a Słońcem:

$F_{S-W}=\frac{G{M}_W{M}_S}{{\left(r_Z\sin \alpha \right)}^2}$  

$F_{S-W}=\frac{G{M}_W{M}_S}{r_Z^2{\sin }^2\alpha }$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy wartość wypadkowej siły działającej na Wenus:

$F^2=F_{Z-W}^2+F_{S-W}^2$   

$F^2={\left(\frac{G{M}_W{M}_Z}{r_Z^2{\cos }^2\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{G{M}_W{M}_S}{r_Z^2{\sin }^2\alpha }\right)}^2$   

$F^2={\left(\frac{G{M}_W}{r_Z^2}\right)}^2{\left(\frac{M_Z}{{\cos }^2\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{G{M}_W}{r_Z^2}\right)}^2{\left(\frac{M_S}{{\sin }^2\alpha }\right)}^2$   

$F^2={\left(\frac{G{M}_W}{r_Z^2}\right)}^2\left[{\left(\frac{M_Z}{{\cos }^2\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{M_S}{{\sin }^2\alpha }\right)}^2\right]\mid \sqrt{}$   

$F=\sqrt{{\left(\frac{G{M}_W}{r_Z^2}\right)}^2\left[{\left(\frac{M_Z}{{\cos }^2\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{M_S}{{\sin }^2\alpha }\right)}^2\right]}$   

$F=\frac{G{M}_W}{r_Z^2}\sqrt{{\left(\frac{M_Z}{{\cos }^2\alpha }\right)}^2+{\left(\frac{M_S}{{\sin }^2\alpha }\right)}^2}$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F=\frac{3,25\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{{\left(1,5\cdot {10}^{11}\text{m}\right)}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{{\cos }^2{46}^{\circ }}\right)}^2+{\left(\frac{2\cdot {10}^{30}\text{kg}}{{\sin }^2{46}^{\circ }}\right)}^2}=$  

$=\frac{3,25\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{2,25\cdot {10}^{22}{\text{m}}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{{0,6947}^2}\right)}^2+{\left(\frac{2\cdot {10}^{30}\text{kg}}{{0,7193}^2}\right)}^2}\approx$  

$\approx 1,444\cdot {10}^{-8}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{6\cdot {10}^{24}\text{kg}}{0,48}\right)}^2+{\left(\frac{2\cdot {10}^{30}\text{kg}}{0,52}\right)}^2}\approx$  

$\approx 1,444\cdot {10}^{-8}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sqrt{{\left(12,5\cdot {10}^{24}\text{kg}\right)}^2+{\left(3,846\cdot {10}^{30}\text{kg}\right)}^2}\approx$  

$\approx 1,444\cdot {10}^{-8}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sqrt{{\left(3,846\cdot {10}^{30}\text{kg}\right)}^2}=1,444\cdot {10}^{-8}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 3,846\cdot {10}^{30}\text{kg}=$  

$=5,553624\cdot {10}^{22}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 0,6\cdot {10}^{23}\text{N}$  

Odpowiedź: Wypadkowa sił grawitacji ma wartość około 0,6∙10²³ N.

---

UWAGA! Wynik podany w podręczniku różni się od otrzymanego ze względu na przyjęte przybliżenia.

 

$\mathrm{1.2.}$

Dane:

$\alpha ={46}^{\circ }$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ okres obiegu Ziemi wokół Słońca: $T{}_Z=1\mathrm{rok}$.

Szukane:

$r_{S-W}=?$  

Rozwiązanie: 

Trzecie prawo Keplera mówi, że kwadraty okresów obiegu ciał (np. planet/satelitów) wokół innego ciała niebieskiego (np. gwiazdy/planety) są proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od tego ciała. Prawo to wyrażamy za pomocą wzoru:

$\frac{T^2}{r^3}=\text{const.}$

gdzie:

$T$ - okres obiegu ciała,

$r$ - średnia odległość między ciałami.

Zgodnie z III prawem Keplera możemy zapisać:

$\frac{T_W^2}{r_{S-W}^3}=\frac{T_Z^2}{r_Z^3}$

gdzie:

$T_W$ - okres obiegu Wenus wokół Słońca,

$r_{S-W}$ - odległość Wenus od Słońca,

$T_Z$ - okres obiegu Ziemi wokół Słońca,

$r_Z$ - odległość Ziemi od Słońca.

Z powyższego wzoru wyznaczamy wyrażenie na okres obiegu Wenus wokół Słońca:

$\frac{T_W^2}{r_{S-W}^3}=\frac{T_Z^2}{r_Z^3}|\cdot r_W^3$

$T_W^2=\frac{T_Z^2{r}_{S-W}^3}{r_Z^3}|\sqrt{}$

$T_W=\sqrt{\frac{T_Z^2{r}_{S-W}^3}{r_Z^3}}$

Korzystając rysunku wykonanego w poprzednim podpunkcie możemy zapisać:

$\sin \alpha =\frac{r_{S-W}}{r_Z}$  

gdzie:

$\alpha$ - kąt między odcinkiem łączącym Ziemię z Wenus a odcinkiem łączącym Ziemię ze Słońcem.

Wyznaczamy wzór na odległość między Słońcem a Wenus:

$\sin \alpha =\frac{r_{S-W}}{r_Z}|\cdot r_Z$

$r_{S-W}=r_Z\sin \alpha$

Wstawiamy wzór do wyrażenia na okres obiegu:

$T_W=\sqrt{\frac{T_Z^2{r}_{S-W}^3}{r_Z^3}}$

$T_W=\sqrt{\frac{T_Z^2{\left(r_Z\sin \alpha \right)}^3}{r_Z^3}}$

$T_W=\sqrt{\frac{T_Z^2\cancel{r_Z^3}{\sin }^3\alpha }{\cancel{r_Z^3}}}$

$T_W=T_Z\sin \alpha \sqrt{\sin \alpha }$

Wstawiamy dane liczbowe:

$T_W=1\mathrm{rok}\cdot \sin 46^{\circ }\sqrt{\sin 46^{\circ }}$

Obliczamy wartości funkcji sinus korzystając z tablic matematycznych lub kalkulatora naukowego:

$T_W=1\mathrm{rok}\cdot 0,7193\sqrt{0,7193}\approx$

$\approx 0,7193\mathrm{rok}\cdot 0,8481\approx 0,61\mathrm{rok}$  

Odpowiedź: Okres obiegu Wenus wokół Słońca wynosi około 0,61 roku ziemskiego.