Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest uzupełnienie zdań, podczas upuszczenia piłki i jej odbicia od podłogi. Zauważmy, że piłka nie wznosi się na tą samą wysokość po odbiciu, czyli mamy do czynienia ze stratami energii mechanicznej piłki, która przekazywana jest na energię wewnętrzną piłki i podłogi, od której się odbija. Zakładamy, że piłka traci energię wyłącznie podczas odbicia. Znamy:

▶ masę piłki: $m=0,4\text{kg}$, 

▶ wysokość, z której upuszczono piłkę: $h_1=2\text{m}$,

▶ wysokość, na jaką wzniosła się piłka po odbiciu: $h_2=1,4\text{m}$. 

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Naszym zadaniem jest określenie:

• energii potencjalnej grawitacji piłki względem podłogi,
• energii kinetycznej piłki tuż przed zetknięciem z podłogą, 
• energii kinetycznej piłki zaraz po odbiciu,
• straty energii mechanicznej po odbiciu, 
• procent utraconej energii mechanicznej, 
• przyrostu energii wewnętrznej piłki i podłogi.

Możemy zauważyć, że:

gdzie:

$h_1$ - wysokość, na jakiej początkowo znajdowała się piłka, 

$h_2$ - wysokość, na którą wzbiła się piłka po odbiciu,

$E_{p.1}$ - energia potencjalna grawitacji piłki na wysokości, z której ją upuszczono, 

$E_{k.1}$ - energia kinetyczna piłki na wysokości, z której ją upuszczono,

$E_{p.2}$ - energia potencjalna grawitacji w chwili tuż przed uderzeniem w ziemię, 

$E_{k.2}$ - energia kinetyczna w chwili tuż przed uderzeniem w ziemię, 

$E_{p.3}$ - energia potencjalna grawitacji w chwili tuż po uderzeniu w ziemię, 

$E_{k.3}$ - energia kinetyczna w chwili tuż po uderzeniu w ziemię, 

$E_{p.4}$ - energia potencjalna grawitacji na wysokości osiągniętej po odbiciu się piłki od podłogi,

$E_{k.4}$ - energia kinetyczna na wysokości osiągniętej po odbiciu się piłki od podłogi.

Energia kinetyczna piłki na maksymalnej wysokości, gdy się nie porusza jest zerowa:

$E_{k.1}=0$

Energia potencjalna piłki, na zerowej wysokości tuż przed odbiciem i zaraz po odbiciu również jest zerowa:

$E_{p.2}=0$

$E_{p.3}=0$

Po odbiciu od podłoża piłka wznosi się do góry na pewną wysokość, na której zatrzymuje się. Wówczas energia kinetyczna, na wysokości, na którą wzniosła się piłka po odbiciu wynosi:

$E_{k.4}=0$

---

Energia potencjalna grawitacji względem podłogi.

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$E_p$  - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

Zatem energia potencjalna grawitacji piłki względem podłogi na wysokości, z której ją upuszczono ma postać:

$E_{p.1}=mg{h}_1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{p.1}=0,4\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 2\text{m}=$

$=8\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=8\text{J}$

---

Energia kinetyczna piłki tuż przed zetknięciem z podłogą.

Energia kinetyczna piłki tuż przed zetknięciem z podłogą będzie równa energii potencjalnej grawitacji na wysokości, z której upuszczono piłkę, ponieważ nie uwzględniamy oporów powietrza w czasie spadku piłki. Wynika to z zasady zachowania energii (nie doszło do jej straty, ponieważ piłka jeszcze nie zetknęła się z podłogą):

$E_{p.2}+E_{k.2}=E_{p.1}+E_{k.1}$

$0+E_{k.2}=E_{p.1}+0$

$E_{k.2}=E_{p.1}$

Wówczas cała energia potencjalna grawitacji zamienia się na energię kinetyczną:

$E_{k.2}=8\text{J}$

---

Energia kinetyczna zaraz po odbiciu.

W czasie odbicia piłka traci energię. Energia potencjalna piłki na wysokości, na która wzniosła się po odbiciu ma postać:

$E_{p.4}=mg{h}_2$

Wówczas zaraz po odbiciu energia kinetyczna piłki ma postać:

$E_{p.3}+E_{k.3}=E_{p.4}+E_{k.4}$

$0+E_{k.3}=E_{p.4}+0$

$E_{k.3}=E_{p.4}$

$E_{k.3}=mg{h}_2$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{k.3}=0,4\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,4\text{m}=$

$=5,6\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=5,6\text{J}$

---

Straty energii mechanicznej po odbiciu.

Całkowitą energię mechaniczną piłki przed odbiciem przedstawimy jako sumę energii potencjalnej grawitacji i kinetycznej piłki tuż przed odbiciem:

$E_2=E_{p.2}+E_{k.2}$

Całkowitą energię mechaniczną piłki po odbiciu przedstawimy jako sumę energii potencjalnej grawitacji i kinetycznej piłki tuż po odbiciu:

$E_3=E_{p.3}+E_{k.3}$

Wówczas zmiana energii mechanicznej piłki, która będzie odpowiadała stratom energii ma postać:

$\Delta E=E_3-E_2$

$\Delta E=E_{p.3}+E_{k.3}-\left(E_{p.2}+E_{k.2}\right)$

$\Delta E=0+E_{k.2}-\left(0+E_{k.3}\right)$

$\Delta E=E_{k.2}-E_{k.3}$

$\Delta E=E_{p.1}-E_{p.4}$

$\Delta E=mg{h}_1-mg{h}_2$

$\Delta E=mg\left(h_1-h_2\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta E=0,4\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(2\text{m}-1,4\text{m}\right)=$

$=0,4\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,6\text{m}=$

$=2,4\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=2,4\text{J}$

---

Procent utraconej energii mechanicznej.

Pytamy, jakim procentem początkowej całkowitej energii mechanicznej piłki jest utracona energia:

$\Delta E=\frac{k}{100\%}\cdot E_1$

gdzie:

$k$ - procent utraconej energii, 

$E_1$ - całkowita początkowa energia mechaniczna piłki. 

Całkowita początkowa energia mechaniczna piłki wynosi:

$E_1=E_{p.1}+E_{k.1}$

$E_1=E_{p.1}+0$

$E_1=E_{p.1}$

Wówczas procent utraconej energii mechanicznej ma postać:

$\frac{k}{100\%}\cdot E_1=\Delta E|\cdot 100\%$

$k\cdot E_1=\Delta E\cdot 100\%|:E_1$

$k=\frac{\Delta E}{E_1}\cdot 100\%$

$k=\frac{\cancel{mg}\left(h_1-h_2\right)}{\cancel{mg}{h}_1}\cdot 100\%$

$k=\frac{h_1-h_2}{h_1}\cdot 100\%$

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$k=\frac{2\text{m}-1,4\text{m}}{2\text{m}}\cdot 100\%=\frac{0,6\cancel{\text{m}}}{2\cancel{\text{m}}}\cdot 100\%=$

$=\frac{6}{20}\cdot 100\%=0,3\cdot 100\%=30\%$

---

Przyrostu energii wewnętrznej piłki i podłogi.

Przyrost energii wewnętrznej piłki i podłogi będzie odpowiadał stratom energii, czyli wynosi:

$\Delta E=2,4\text{J}$

 

 Odpowiedź: 

Przed upuszczeniem energia potencjalna grawitacji piłki względem podłogi miała wartość 8 J.

Tuż przed zetknięciem z podłogą energia kinetyczna piłki wynosiła 8 J.

Energia kinetyczna piłki zaraz po odbiciu miała wartość 5,6 J.

Podczas odbicia piłka straciła 2,4 J energii mechanicznej, czyli 30% energii początkowej.

Podczas odbicia energia wewnętrzna piłki i podłogi wzrosła o 2,4 J.