TREŚĆ:

Zadanie 5.

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

• okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S2}=16$ lat ziemskich,
• najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_P=120\mathrm{au}$,
• największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_A=1820\mathrm{au}$.

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor  $\vec{v}$  prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Informacje do zadań 5.3-5.4

Załóżmy, że ciało 𝒞₁ krąży po orbicie 𝒪₁ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_1$, a ciało 𝒞₂ krąży po orbicie 𝒪₂ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_2$. Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas $M_1$ i $M_2$ można obliczyć ze wzoru:

$\frac{M_1}{M_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^2$  

gdzie: $T_1$ i $T_2$ są okresami obiegu ciał po orbitach - odpowiednio - 𝒪1 i  𝒪2, natomiast $a_1$ i $a_2$ zależą od rodzaju orbity:

• gdy orbity 𝒪₁ i 𝒪₂ są kołowe, to $a_1$ i $a_2$ są odpowiednio promieniami tych orbit,
• gdy orbita 𝒪₁ jest eliptyczna, a orbita 𝒪₂ jest kołowa, to $a_1$ jest długością półosi wielkiej orbity 𝒪₁, natomiast $a_2$ jest promieniem orbity 𝒪₂. 

Zadanie 5.3

Masę obiektu Sgr A* oznaczymy jako $M_{SA}$, a masę Słońca oznaczymy jako $M_S$. Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $a_Z=1,0\mathrm{au}$ z okresem obiegu $T_Z=1$ rok. Długość półosi wielkiej orbity S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A*, zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1 jest równa  $\frac{\left|PA\right|}{2}$  .

Oblicz  iloraz  $\frac{M_{SA}}{M_S}$  . Zapisz obliczenia. wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$a_Z=1,0\text{au}$  

$T_Z=1,0\text{rok}$  

$a_{S2}=\frac{\left|PA\right|}{2}$  

$r_P=120\text{au}$  

$r_A=1820\text{au}$

$T_{S2}=16\text{lat}$  

Szukane:

$\frac{M_{SA}}{M_S}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie stosunku masy obiektu Sgr A* do masy Słońca. Z rysunku odczytujemy, że odległość pomiędzy punktami A oraz P opisuje wzór:

$\left|PA\right|=r_P+r_A$  

Zatem wielka półoś obiektu, który porusza się wokół Sgr A* jest opisana wzorem: