Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący...- Zadanie 5.3: Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony 2023

Rozwiązanie

TREŚĆ:

Zadanie 5.

Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S 2} = 16$ lat ziemskich,
najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_{P} = 120 au$ ,
największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_{A} = 1820 au$ .

Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. Opisaną sytuację przedstawiono na rysunku 1. Ponadto oznaczono wektor $v$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

Informacje do zadań 5.3-5.4

Załóżmy, że ciało 𝒞₁ krąży po orbicie 𝒪₁ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_{1}$ , a ciało 𝒞₂ krąży po orbicie 𝒪₂ wokół centrum grawitacyjnego o masie $M_{2}$ . Zakładamy, że na każde z tych ciał działa jedynie siła pochodząca od centrum grawitacyjnego, dookoła którego dane ciało krąży. Stosunek mas $M_{1}$ i $M_{2}$ można obliczyć ze wzoru:

$\frac{M _{1}}{M _{2}} = (\frac{a _{1}}{a _{2}})^{3} \cdot (\frac{T _{2}}{T _{1}})^{2}$

gdzie: $T_{1}$ i $T_{2}$ są okresami obiegu ciał po orbitach - odpowiednio - 𝒪1 i 𝒪2, natomiast $a_{1}$ i $a_{2}$ zależą od rodzaju orbity:

gdy orbity 𝒪₁ i 𝒪₂ są kołowe, to $a_{1}$ i $a_{2}$ są odpowiednio promieniami tych orbit,
gdy orbita 𝒪₁ jest eliptyczna, a orbita 𝒪₂ jest kołowa, to $a_{1}$ jest długością półosi wielkiej orbity 𝒪₁, natomiast $a_{2}$ jest promieniem orbity 𝒪₂.

Zadanie 5.3

Masę obiektu Sgr A* oznaczymy jako $M_{S A}$ , a masę Słońca oznaczymy jako $M_{S}$ . Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $a_{Z} = 1, 0 au$ z okresem obiegu $T_{Z} = 1$ rok. Długość półosi wielkiej orbity S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A*, zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1 jest równa $\frac{∣ P A ∣}{2}$ .

Oblicz iloraz $\frac{M _{S A}}{M _{S}}$ . Zapisz obliczenia. wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$a_{Z} = 1, 0 au$

$T_{Z} = 1, 0 rok$

$a_{S 2} = \frac{∣ P A ∣}{2}$

$r_{P} = 120 au$

$r_{A} = 1820 au$

$T_{S 2} = 16 lat$

Szukane:

$\frac{M _{S A}}{M _{S}} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie stosunku masy obiektu Sgr A* do masy Słońca. Z rysunku odczytujemy, że odległość pomiędzy punktami A oraz P opisuje wzór:

$∣ P A ∣ = r_{P} + r_{A}$