Oblicz wartość prędkości początkowej...- Zadanie 1.1: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$v_{1} = 25 \frac{m}{s}$

$t_{1} = 1 s$

$t_{2} = 1, 5 s$

$g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$

Szukane:

$v_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Wysokość na jaką wznoszą się piłki ruchem jednostajnie opóźnionym wyrazimy jako:

$h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$

gdzie:

$h$ - przebyta droga,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas ruchu.

Obie piłki w momencie zderzenia znajdą się na tej samej wysokości. Pierwsza piłka osiąga maksymalną wysokość w czasie:

$t_{3} = t_{1} + t_{2}$

$t_{3} = 1 s + 1, 5 s = 2, 5 s$

Zatem:

$h = v_{1} t_{3} - \frac{1}{2} g t_{3}^{2}$

Druga piłka osiąga tę samą wysokość w czasie:

$t_{2} = 1, 5 s$

Zatem:

$h = v_{2} t_{2} - \frac{1}{2} g t_{2}^{2}$

Porównujemy oba wzory:

$v_{2} t_{2} - \frac{1}{2} g t_{2}^{2} = v_{1} t_{3} - \frac{1}{2} g t_{3}^{2}$

Wyznaczmy zależność na wartość prędkości początkowej drugiej piłki.

$v_{2} t_{2} = v_{1} t_{3} + \frac{1}{2} g t_{2}^{2} - \frac{1}{2} g t_{3}^{2}$

$v_{2} = v_{1} \frac{t _{3}}{t _{2}} + \frac{1}{2} g t_{2} - \frac{1}{2} g \frac{t _{3}^{2}}{t _{2}}$

$v_{2} = v_{1} \frac{t _{3}}{t _{2}} + \frac{g}{2} (t_{2} - \frac{t _{3}^{2}}{t _{2}})$

Podstawiamy dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru.

$v_{2} = 25 \frac{m}{s} \cdot \frac{2 , 5 s}{1 , 5 s} + \frac{10 \frac{m}{s ^{2}}}{2} \cdot (1, 5 s - \frac{( 2 , 5 s ) ^{2}}{1 , 5 s}) \approx 41, 67 \frac{m}{s} + 5 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (1, 5 s - 4, 17 s) = 41, 67 \frac{m}{s} + 5 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (- 2, 67 s) = 41, 67 \frac{m}{s} - 13, 35 \frac{m}{s} \approx 28, 3 \frac{m}{s}$