Oblicz średnią odległość między cząsteczkami...- Zadanie 15.1: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$n = 1 mol$

$μ = 4 \frac{g}{mol} = 4 \cdot 10^{- 3} \frac{kg}{mol}$

$p = 1 kPa = 10^{3} Pa$

$T = 300 K$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała Avogadro: $N_{A} = 6, 02 \cdot 10^{23} \frac{1}{mol}$ ,

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ .

Szukane:

$d = ?$

Rozwiązanie:

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Korzystając z równania Clapeyrona wyznaczmy objętość helu:

$p V = n R T | : p$

$V = \frac{n R T}{p}$

Wyobraźmy sobie, że objętość zajmowana przez hel jest sześcianem o boku długości $a$ . Zatem objętość możemy przedstawić jako:

$V = a^{3}$

$a^{3} = \frac{n R T}{p}$

Wyobraźmy sobie, że w tym sześcianie atomy helu rozmieszczone są w równej odległości od siebie.

Zależność liczby cząstek gazu od liczby moli przedstawiamy wzorem:

$N = n N_{A}$

gdzie:

$N$ - liczba cząstek,

$N_{A}$ - stała Avogadro.

Zauważmy, że jedna cząsteczka położona jest w miejscu, które odpowiada wierzchołkowi sześcianu o boku długości $d$ . Traktujemy układ jako siatkę krystalograficzną. Objętość komórki elementarnej będzie wynosiła:

$V_{kom \overset{o}{ˊ} rki} = d^{3}$

gdzie:

$V_{kom \overset{o}{ˊ} rki}$ - objętość komórki elementarnej,

$d$ - odległość pomiędzy atomami.

Wówczas liczbę atomów możemy przedstawić jako:

$N = \frac{V}{V _{kom \overset{o}{ˊ} rki}}$

Z tego wynika, że:

$n N_{A} = \frac{a ^{3}}{d ^{3}} | \cdot d^{3}$

$n N_{A} d^{3} = a^{3}$

$n N_{A} d^{3} = \frac{n R T}{p} ∣ : n N_{A}$

$d^{3} = \frac{R T}{p N _{A}} ∣ 3$

$d = 3 \frac{R T}{p N _{A}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d = 3 \frac{8 , 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 300 K}{10 ^{3} Pa \cdot 6 , 02 \cdot 10 ^{23} \frac{1}{mol}} = 3 \frac{2493 kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{6 , 02 \cdot 10 ^{26} \frac{kg}{m \cdot s ^{2}}} =$