Oblicz prędkość v3, z jaką...- Zadanie 13.2: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$f_{0} = 1000 Hz$

$v_{d} = 338 \frac{m}{s} = 1216, 8 \frac{km}{h}$

$v_{1} = 80 \frac{km}{h}$

$v_{2} = 30 \frac{km}{h}$

Szukane:

$v_{3} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości prędkości, z jaką porusza się motocykl (3). Zauważmy, że zarówno obserwator jak i inne dwa źródła dźwięku się poruszają. Rozpatrujemy więc zjawisko Dopplera.

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tę zależność ma postać:

$f = f_{0} \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{\overset{z}{ˊ}}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

$f_{0}$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),

$v_{o}$ - szybkość, z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,

$v_{\overset{z}{ˊ}}$ - szybkość, z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

Skoro obserwator na motocyklu słyszy dźwięk o jednej częstotliwości, to znaczy, że w wyniku zjawiska Dopplera zmiana częstotliwości fali dźwiękowej wysyłanej przez motocykl (1) i (3) jest taka sama.

Rozpatrzymy zjawisko względem motocykla (1) i (2), gdzie (1) jest poruszającym się źródłem fali, a (2) jej poruszającym się obserwatorem. Źródło dźwięku (motocykl (1)) zbliża się do obserwatora (motocykl (2)), natomiast obserwator oddala się od źródła dźwięku. Wówczas wzór na częstotliwość $f$ przyjmie postać:

$f = f_{0} \frac{v _{d} - v _{2}}{v _{d} - v _{1}}$

Teraz rozpatrzymy zjawisko względem motocykla (3) i (2), gdzie (3) jest poruszającym się źródłem fali, a (2) jej poruszającym się obserwatorem. Źródło dźwięku (motocykl (3)) zbliża się do obserwatora (motocykl (2)), gdzie obserwator również się zbliża do źródła dźwięku. Wówczas wzór na częstotliwość $f$ przyjmie postać:

$f = f_{0} \frac{v _{d} + v _{2}}{v _{d} - v _{3}}$

Odbierane częstotliwości $f$ są takie same, zatem:

$f_{0} \frac{v _{d} - v _{2}}{v _{d} - v _{1}} = f_{0} \frac{v _{d} + v _{2}}{v _{d} - v _{3}} ∣ : f_{0}$

$\frac{v _{d} - v _{2}}{v _{d} - v _{1}} = \frac{v _{d} + v _{2}}{v _{d} - v _{3}}$

Mnożymy na krzyż:

$(v_{d} - v_{2}) (v_{d} - v_{3}) = (v_{d} + v_{2}) (v_{d} - v_{1})$

$v_{d}^{2} - v_{d} v_{3} - v_{d} v_{2} + v_{2} v_{3} = v_{d}^{2} - v_{d} v_{1} + v_{2} v_{d} - v_{2} v_{1}$

$v_{2} v_{3} - v_{d} v_{3} - v_{d} v_{2} = v_{d} v_{2} - v_{d} v_{1} - v_{1} v_{2} ∣ + v_{d} v_{2}$

$v_{3} (v_{2} - v_{d}) = 2 v_{d} v_{2} - v_{1} (v_{d} + v_{2}) ∣ : (v_{2} - v_{d})$

$v_{3} = \frac{2 v _{d} v _{2} - v _{1} ( v _{d} + v _{2} )}{v _{2} - v _{d}}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$v_{3} = \frac{2 \cdot 1 216 , 8 \frac{km}{h} \cdot 30 \frac{km}{h} - 80 \frac{km}{h} \cdot ( 1 216 , 8 \frac{km}{h} + 30 \frac{km}{h} )}{30 \frac{km}{h} - 1 216 , 8 \frac{km}{h}} =$