Rysunek pomocniczy do zadania:

gdzie:

${\overrightarrow{N}}_1,{\overrightarrow{N}}_2$   - siły naciągu linki,

${\overrightarrow{M}}_1,{\overrightarrow{M}}_2$   - momenty sił działające na krążki,

${\overrightarrow{F}}_c$   - siła ciężkości klocka. 

 

Zapisujemy drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego klocka:

$F_w=F_c-N_1$  

gdzie:

$F_w$   - wartość siły wypadkowej,

$F_c$   - wartość siły ciężkości klocka,

$N_1$   - wartość siły naciągu linki.

Wartość siły wypadkowej wyrażamy jako:

$F_w=ma$  

gdzie:

$m$   - masa klocka,

$a$   - wartość przyspieszenia liniowego klocka.

Zatem:

$ma=F_c-N_1$  

Wartość siły ciężkości klocka wyrazimy jako:

$F_c=mg$  

gdzie:

$g$   - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Stąd:

$ma=mg-N_1$  

$a=g-\frac{N_1}{m}$  

 

W wyniku działających sił naciągu linki na krążki działają pewne momenty sił.

$M_1=R\cdot N_1-R\cdot N_2$  

gdzie:

$M_1$   - wartość momentu siły działającego na pierwszy krążek,

$R$   - promień pierwszego krążka,

$N_2$   - wartość siły naciągu linki.

 

$M_2=2R\cdot N_2$  

gdzie:

$M_2$   - wartość momentu siły działającego na drugi krążek,

$2R$   - promień drugiego krążka.

 

Wartość momentu siły możemy wyrazić jako:

$M=\epsilon I$  

gdzie:

$M$   - wartość momentu siły,

$\epsilon$   - wartość przyspieszenia kątowego,

$I$   - moment bezwładności.

 

Krążki będą obracać się z takim samym przyspieszeniem liniowym, ponieważ są połączone jedną linką. Przyspieszenia kątowe krążków będą się różnić. Dodatkowo wiemy, że momenty bezwładności krążków są takie same.

$M_1={\epsilon }_{1}I$  

$M_2={\epsilon }_{2}I$  

 

Zależność między wartością przyspieszenia kątowego i liniowego jest dana jako:

$\epsilon =\frac{a}{r}$

Dla naszych krążków mamy:

${\epsilon }_1=\frac{a}{R}$

${\epsilon }_2=\frac{a}{2R}$   

Zatem:

$M_1=\frac{a}{R}I$  

$M_2=\frac{a}{2R}I$  

Podstawiamy wyznaczone zależności na wartości momentów sił do wcześniejszych równań.

$\frac{a}{R}I=R\cdot N_1-R\cdot N_2$  

$\frac{a}{2R}I=2R\cdot N_2$  

Stąd:

$\frac{a}{R^2}I=N_1-N_2$  

$\frac{a}{4R^2}I=N_2$  

Dodajemy dwa powyższe równania stronami:

$\frac{a}{R^2}I+\frac{a}{4R^2}I=N_1-N_2+N_2$  

$\frac{4a}{4R^2}I+\frac{a}{4R^2}I=N_1$  

$N_1=\frac{5a}{4R^2}I$  

 

Wracamy do początkowego równania i wyznaczamy zależność na wartość przyspieszenia klocka.

$a=g-\frac{N_1}{m}$  

$a=g-\frac{\frac{5a}{4R^2}I}{m}$  

$a=g-\frac{5I}{4m{R}^2}a$  

$a+\frac{5I}{4m{R}^2}a=g$  

$\left(1+\frac{5I}{4m{R}^2}\right)a=g$  

$a=\frac{g}{1+\frac{5I}{4m{R}^2}}$  

$a=\frac{mg}{m+\frac{5I}{4R^2}}$  

$a=\frac{m}{m+\frac{5I}{4R^2}}g$