Treść: 

Zadanie 1.

Na wykresie 1. przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) tor ruchu ciała w inercjalnym układzie odniesienia. Ruch ciała odbywał się następująco.

•  Ciało rozpoczęło ruch w punkcie A (od zerowej prędkości początkowej) i dalej poruszało się ruchem jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym aż do punktu B. W punkcie B ciało osiągnęło prędkość o wartości v_B = v.

•  Od punktu B do C ciało poruszało się po półokręgu z prędkością o stałej wartości v.

•  Od punktu C do D ciało poruszało się ruchem jednostajnie opóźnionym prostoliniowym. W punkcie D ciało się zatrzymało (v_D = 0).

Zadanie 1.1.

Długość boku kratki na wykresie 2. odpowiada umownej jednostce siły. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało w punkcie 𝑍 wyrażona w tych jednostkach siły wynosi 4.

Na wykresie 2. narysuj w punktach Y oraz Z wektory sił wypadkowych działających na ciało. Uwzględnij odpowiednie: (1) kierunki, (2) zwroty oraz (3) długości wektorów, odpowiadające wartościom sił wypadkowych. Zapisz obliczenia uzasadniające długość wektora w punkcie Y.

 

---

 Rozwiązanie: 

▶ Wektor siły wypadkowej w punkcie Z.

W punkcie Z ciało porusza się z opóźnieniem, czy zwrot jego wektora przyspieszenia jest przeciwny do kierunku ruchu tego ciała. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. 

Oznacza to, że kierunek wektora siły wypadkowej jest zgodny z kierunkiem ruchu ciała, zwrot wektora jest przeciwny do kierunku ruchu ciała, a zgodnie z informacjami zawartymi w treści zadania długość wektora w punkcie Z odpowiada długości czterech kratek:

$F_{\text{Z}}=4\text{kratki}$  

▶ Obliczenia uzasadniające długość wektora w punkcie Y.

W punkcie Y w inercjalnym układzie odniesienia na ciało działa siła dośrodkowa leżąca na prostej przechodzącej przez punkt Y oraz środek okręgu będącego torem ruchu ciała oraz ten punkt Y. Zwrot siły jest do środka okręgu. Wartość tej siły w ogólnym przypadku możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{Y}}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała, 

$v$  - wartość prędkości liniowej ciała, 

$r$  - promień okręgu, po którym to ciało się porusza. 

Musimy znaleźć związek pomiędzy tą siłą, a siłą działająca w punkcie Z. W punkcie Z zgodnie z II zasadą dynamiki otrzymamy:

$F_{\text{Z}}=ma$  

gdzie:

$m$  - masa ciała, 

$a$  - wartość przyspieszenia (opóźnienia), z jakim to ciało się porusza. 

Nie znamy wartości przyspieszenia, ale z wykresu 1 możemy odczytać, że od punktu C do D ciało hamuje z pewnym opóźnieniem od pewnej szybkości $v_{\text{C}}=v$  do zera, czyli zmiana tej szybkości na odcinku |CD| wynosi $v$ . Zatem zgodnie z definicją przyspieszenia całkowity czas hamowania wynosi wtedy:

$a=\frac{v}{t}\mid \cdot t$  

$at=v\mid :a$  

$t=\frac{v}{a}$  

Drogę, jaką na tym odcinku pokonuje ciało możemy odczytać z wykresu 1:

$s=\left|CD\right|=8\text{m}-4\text{m}=4\text{m}$  

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie:

$v$  - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$  - wartość przyspieszenia z jakim porusza się ciało (opóźnienie), 

$t$  - czas ruchu ciała. 

Wówczas dla naszego ciała otrzymujemy, że opóźnienie wynosi:

$s=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$  

$s=v\cdot \frac{v}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v}{a}\right)}^2$  

$s=\frac{v^2}{a}-\frac{1}{2}a\cdot \frac{v^2}{a^2}$  

$s=\frac{2v^2}{2a}-\frac{v^2}{2a}$  

$s=\frac{v^2}{2a}\mid \cdot a$  

$as=\frac{v^2}{2}\mid :s$  

$a=\frac{v^2}{2s}$  

Zatem możemy zapisać, że wartość siły w punkcie Z ma postać:

$F_{\text{Z}}=ma$  

$F_{\text{Z}}=m\cdot \frac{v^2}{2s}$  

$F_{\text{Z}}=\frac{m{v}^2}{2s}$  

Z tego wynika, że w punkcie Y wartość siły możemy przedstawić w zależności od wartości siły w punkcie Z następującą zależnością:

$F_{\text{Y}}=\frac{m{v}^2}{r}$  

$F_{\text{Y}}=\frac{m{v}^2}{r}\cdot 1$  

$F_{\text{Y}}=\frac{m{v}^2}{r}\cdot \frac{2s}{2s}$  

$F_{\text{Y}}=\frac{m{v}^2}{2s}\cdot \frac{2s}{r}$  

$F_{\text{Y}}=F_{\text{Z}}\cdot \frac{2s}{r}$  

Z wykresu 1 możemy odczytać, że długość promienia półokręgu zakreślonego przez do ciało wynosi:

$r=12\text{m}-8\text{m}=4\text{m}$  

Oznacza to, że:

$F_{\text{Y}}=4\text{kratki}\cdot \frac{2\cdot \cancel{4\text{m}}}{\cancel{4\text{m}}}=4\text{kratki}\cdot 2=8\text{kratek}$  

▶ Zaznaczamy siły na rysunku: