a) Gdy temperatura Słońca się obniży, stała słoneczna zmaleje, a długość fali odpowiadająca maksimum energii promieniowania Słońca wzrośnie.

Obniżenie temperatury Słońca spowoduje spadek całkowitej mocy promieniowania Słońca, więc również spadek stałej słonecznej.

Długość fali odpowiadająca maksimum energii promieniowania ciała jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury tego ciała.

---

b) 

Dane:

$T{}^{\prime }=5000\text{K}$

$s=1,36\cdot {10}^3\frac{\text{J}}{{\text{m}}^2\cdot \text{s}}$  

$T=6000\text{K}$  

Szukane:

$s{}^{\prime }=?$  

Rozwiązanie:

Zakładamy, że Słońce możemy potraktować jak ciało doskonale czarne.

Dla ciała doskonale czarnego natężenie $I$   promieniowania przez nie emitowanego wyrażamy jako:

$I=\sigma T^4$  

---

$\sigma -\text{stała Stefana-Boltzmanna}$  

$T-\text{temperatura ciała}$  

---

Natężenie $I_{\text{S}}$   promieniowania Słońca przy jego powierzchni wyrazimy jako:

$I_{\text{S}}=\frac{P}{S_{\text{Słonˊca}}}$  

$P-\text{moc promieniowania Słonˊca}$  

$S_{\text{Słonˊca}}-\text{powierzchnia Słonˊca}$  

 

Stąd moc promieniowania Słońca będzie równa:

$P=I_{\text{S}}\cdot S_{\text{Słonˊca}}$  

$P=\sigma T^4\cdot S_{\text{Słonˊca}}$  

 

Dla Ziemi moc promieniowania Słońca wyrazimy jako:

$P=s\cdot S_{\text{Z}}$  

$s-\text{stała słoneczna dla Ziemi}$  

$S_{\text{Z}}-\text{pole powierzchni sfery wyznaczanej przez promienˊ orbity Ziemi }$  

 

Zatem:

$s\cdot S_{\text{Z}}=\sigma T^4\cdot S_{\text{Słonˊca}}$  

$s=\sigma \cdot \frac{S_{\text{Słonˊca}}}{S_{\text{Z}}}\cdot T^4$  

Zakładamy, że nie zmienia się promień Słońca i promień orbity ziemskiej.

Zatem stała słoneczna jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury Słońca.

 

Układamy odpowiednią proporcję:

$s----T^4$  

$s{}^{\prime }----T{{}^{\prime }}^4$  

$s{}^{\prime }=s\cdot \frac{T{{}^{\prime }}^4}{T^4}$  

$s{}^{\prime }=s\cdot {\left(\frac{T{}^{\prime }}{T}\right)}^4$  

$s{}^{\prime }=1,36\cdot {10}^3\frac{\text{J}}{{\text{m}}^2\cdot \text{s}}\cdot {\left(\frac{5000\text{K}}{6000\text{K}}\right)}^4\approx 1,36\cdot {10}^3\frac{\text{J}}{{\text{m}}^2\cdot \text{s}}\cdot 0,482\approx 0,66\cdot {10}^3\frac{\text{J}}{{\text{m}}^2\cdot \text{s}}$  

---

c)

Korzystamy z prawa Wiena:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{b}{T}$

${\lambda }_{\text{max}}-\text{długosˊcˊ fali odpowiadająca maksimum natęz˙enia emitowanego promieniowania}$   

$b=2,9\cdot {10}^{-3}\text{K}\cdot \text{m}-\text{stała Wiena}$

$T-\text{temperatura ciała doskonale czarnego}$  

 

Zatem:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{b}{T{}^{\prime }}$

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{2,9\cdot {10}^{-3}\text{K}\cdot \text{m}}{5000\text{K}}=0,00058\cdot {10}^{-3}\text{m}=5,8\cdot {10}^{-7}\text{m}=580\cdot {10}^{-9}\text{m}=580\text{nm}$