1.

Czujniki dymu zawierają izotop ameryku, który emituje promieniowanie alfa. Promieniowanie to jest silnie absorbowane w powietrzu, dlatego nie ma szans dotrzeć do osób znajdujących się w pomieszczeniu, kiedy taki czujnik jest zamontowany przy suficie.

 

2. 

Aktywność $A$   źródła promieniotwórczego wyrażamy jako:

$A=A_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$

$A_0-\text{początkowa aktywnosˊcˊ promieniotwoˊrcza zˊroˊdła}$  

$T-\text{czas połowicznego rozpadu}$

$t-\text{czas jaki upłynął}$

Zatem:

$\frac{A}{A_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$    

Aktywność ma spaść o 75%, więc musi wynieść 25% wartości początkowej.

$\frac{A}{A_0}=25\%$

$\frac{A}{A_0}=0,25=\frac{1}{4}$

 

Stąd:

$\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$    

$\frac{1}{2^2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$   

$2=\frac{t}{T}$

$t=2T$

Czas połowicznego rozpadu wynosi:

$T=432\text{lata}$  

Obliczmy czas jaki musi minąć:

$t=2\cdot 432\text{lata}=864\text{lata}$    

 

3. 

Na podstawie rozwiązania z zadania 2. nie możemy wnioskować po jakim czasie nastąpi spadek aktywności o 25%, ponieważ zależność aktywności od czasu nie jest funkcją liniową.

 

4.

Masa $m$   izotopu promieniotwórczego jest wprost proporcjonalna do liczby $N$   jąder promieniotwórczych i aktywności pierwiastka. Zatem możemy zapisać:

$m\sim N$  

$m=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$

---

Masa początkowa ameryku:

$m_0=30\text{mg}$

Czas rozpadu:

$t=216\text{lat}$

---

Zatem:

$m=30\text{mg}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{216\text{lat}}{432\text{lata}}}=30\text{mg}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{0,5}=30\text{mg}\cdot \sqrt{0,5}\approx 21,2\text{mg}$  

Obliczmy stosunek masy ameryku po rozpadzie i początkowej.

$\frac{m}{m_0}=\frac{21,2\text{mg}}{30\text{mg}}\approx 0,71$  

$\frac{m}{m_0}\approx 71\%$