Dane:

$\alpha ={36}^{\circ }$  

$n_{\text{f}}=1,66$  

$n_{\text{cz}}=1,62$  

$n=1$  

 

$\text{a)}$  

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$  

gdzie:

$\alpha$   - kąt padania,

$\beta$   - kąt załamania,

$v_1$  - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_2$  - szybkość światła, w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_1$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje. 

Wówczas kąt załamania w ogólnym przypadku może zostać przedstawiony wzorem:

$\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }\mid \cdot n_1\sin \beta$  

$n_2\sin \beta =n_1\sin \alpha \mid :n_2$  

$\sin \beta =\frac{n_1}{n_2}\sin \alpha$     

W zadaniu ośrodkiem, w którym światło pada jest szkło. Natomiast ośrodkiem, w którym światło załamuje się jest powietrze. Dla światła fioletowego otrzymujemy, że sinus kąta padania będzie wynosił:

$\sin \beta =\frac{n_{\text{f}}}{n}\sin \alpha$     

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin {\beta }_f=\frac{1,66}{1}\cdot \sin {36}^{\circ }=1,66\cdot 0,5878=0,975748$  

Dla  światła czerwonego otrzymujemy, że sinus kąta padania będzie wynosił:

$\sin {\beta }_{cz}=\frac{n_{\text{cz}}}{n}\cdot \sin \alpha$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin {\beta }_{cz}=\frac{1,62}{1}\cdot \sin {36}^{\circ }=0,5878\cdot 1,62=0,952236$  

Zauważmy, że:

$\sin {\beta }_f\text{ < }1\text{ oraz }\sin {\beta }_{cz}\text{ < }1$  

Oznacza to, że światło będzie uległo załamaniu i opuści szkło.  

 

$\text{b)}$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$\sin {\beta }_{\text{f}}=0,975748\approx 0,9757$  

$\sin {\beta }_{\text{cz}}=0,952236\approx 0,9522$  

Oszacujmy dokładne wartości kątów  ${\beta }_{\text{f}}$  i  ${\beta }_{\text{cz}}$ .

▶ Wyznaczamy kąt załamania światła fioletowego:

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin {77}^{\circ }=0,9744$  

$\sin {78}^{\circ }=0,9781$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 77^o, ale mniejszy niż 78^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta:

Ponieważ $\sin {78}^{\circ }-\sin {77}^{\circ }=0,9781-0,9744=0,0037$  to:

$0,0037\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\beta }_{\text{f}}-\sin {77}^{\circ }=0,9757-0,9744=0,0013$  to:

$0,0013\sim x$  

Z tego wynika, że:

$x=\frac{0,0013}{0,0037}\cdot 1^{\circ }\approx 0,4\cdot 1^{\circ }={0,4}^{\circ }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta wynosi:

${\beta }_{\text{f}}={77}^{\circ }+{0,4}^{\circ }={77,4}^{\circ }$  

▶ Wyznaczamy kąt załamania światła czerwonego:

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin {72}^{\circ }=0,9511$  

$\sin {73}^{\circ }=0,9563$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 72^o, ale mniejszy niż 73^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta:

Ponieważ $\sin {73}^{\circ }-\sin {72}^{\circ }=0,9563-0,9511=0,0052$  to:

$0,0052\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\beta }_{\text{cz}}-\sin {72}^{\circ }=0,9522-0,9511=0,0011$  to:

$0,0011\sim x$  

Z tego wynika, że:

$x=\frac{0,0011}{0,0052}\cdot 1^{\circ }\approx 0,2\cdot 1^{\circ }={0,2}^{\circ }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta wynosi:

${\beta }_{\text{cz}}={72}^{\circ }+{0,2}^{\circ }={72,2}^{\circ }$  

Wówczas kąt między promieniami czerwonym i fioletowym będzie wynosił:

$\delta ={\beta }_{\text{f}}-{\beta }_{\text{cz}}$  

$\delta ={77,4}^{\circ }-{72,2}^{\circ }={5,2}^{\circ }$      

 

$\text{c)}$  

Wykonajmy rysunek: