Promień światła pada na płytkę równoległościenną pod kątem...- Zadanie 16.5.10.: Zrozumieć fizykę 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$α = 30^{\circ}$

$d = 4 mm$

$n = 1, 46$

$n_{p} = 1$

Szukane:

$l = ?$

Rozwiązanie:

Szukamy grubości płytki równoległościennej.

PRAWO ZAŁAMANIA

Korzystając, z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

gdzie:

$α$ - kąt padania,

$β$ - kąt załamania,

$v_{1}$ - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_{2}$ - szybkość światła w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_{1}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_{2}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

Niech kąt załamania światła w płytce równoległościennej wynosi $β$ . Wówczas prawdziwe dla naszego przypadku jest równanie:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{n}{n _{p}}$

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{n}{1}$

Odwracamy:

$\frac{sin β}{sin α} = \frac{1}{n} ∣ \cdot sin α$

$sin β = \frac{sin α}{n}$

Przerysujmy rysunek dołączony do zadania do zeszytu i oznaczmy kąty, które pomogą nam wyznaczyć grubość płytki:

Zauważmy, z rysunku, że:

$cos β = \frac{l}{r}$

czyli:

$r = \frac{l}{cos β}$

Ponadto:

$sin φ = \frac{d}{r}$

$sin φ = \frac{d}{\frac{l}{c o s β}}$

$sin φ = \frac{d}{l} cos β$

Zauważmy również, że:

$α = β + φ$

stąd:

$φ = α - β$

Otrzymujemy wtedy równanie:

$sin φ = \frac{d}{l} cos β$

$sin (α - β) = \frac{d}{l} cos β$

Wiemy, że sinus różnicy kątów możemy przedstawić zależnością:

$sin (x - y) = sin x cos y = cos x sin y$

Wówczas dla naszego przypadku prawdziwe jest równanie:

$sin α cos β - cos α sin β = \frac{d}{l} cos β ∣ \cdot l$

$l (sin α cos β - cos α sin β) = d cos β ∣ : (sin α cos β - cos α sin β)$

$l = d \frac{cos β}{sin α cos β - cos α sin β}$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:

$sin^{2} β + cos^{2} β = 1, czyli cos β = 1 - sin^{2} β$

Wówczas:

$l = d \cdot \frac{1 - sin ^{2} β}{sin α 1 - sin ^{2} β - cos α sin β}$

$l = d \cdot \frac{1 - ( \frac{s i n α}{n} ) ^{2}}{sin α 1 - ( \frac{s i n α}{n} ) ^{2} - cos α \frac{s i n α}{n}}$

$l = d \cdot \frac{1 - \frac{s i n ^{2} α}{n ^{2}}}{sin α 1 - \frac{s i n ^{2} α}{n ^{2}} - \frac{1}{n} sin α cos α}$

$l = d \cdot \frac{\frac{1}{n ^{2}} ( n ^{2} - sin ^{2} α )}{sin α \frac{1}{n ^{2}} ( n ^{2} - sin ^{2} α ) - \frac{1}{n} sin α cos α}$

$l = d \cdot \frac{\frac{1}{n} n ^{2} - sin ^{2} α}{\frac{1}{n} sin α n ^{2} - sin ^{2} α - \frac{1}{n} sin α cos α}$

$l = d \cdot \frac{\frac{1}{n} n ^{2} - sin ^{2} α}{\frac{1}{n} ( sin α n ^{2} - sin ^{2} α - sin α cos α )}$

$l = d \cdot \frac{n ^{2} - sin ^{2} α}{sin α n ^{2} - sin ^{2} α - sin α cos α}$

Iloczyn sinusa i kosinusa danego kąta możemy przedstawić jako:

$2 sin α cos α = sin (2 α), czyli sin α cos α = \frac{1}{2} sin (2 α)$

Wówczas:

$l = d \cdot \frac{n ^{2} - sin ^{2} α}{sin α n ^{2} - sin ^{2} α - \frac{1}{2} sin ( 2 α )}$

$l = d \cdot \frac{n ^{2} - sin ^{2} α}{\frac{1}{2} ( 2 sin α n ^{2} - sin ^{2} α - sin ( 2 α ) )}$

$l = d \cdot \frac{2 n ^{2} - sin ^{2} α}{2 sin α n ^{2} - sin ^{2} α - sin ( 2 α )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l = 4 mm \cdot \frac{2 \cdot 1 , 46 ^{2} - sin ^{2} 30 ^{\circ}}{2 \cdot sin 30 ^{\circ} \cdot 1 , 46 ^{2} - sin ^{2} 30 ^{\circ} - sin ( 2 \cdot 30 ^{\circ} )} =$