Dane:

$\lambda =532\text{nm}=532\cdot {10}^{-9}\text{m}=5,32\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$l=50\text{cm}=0,5\text{m}$  

$n=2$  

$x=41\text{cm}=0,41\text{m}$  

Szukane:

$d=\text{?}$  

Rozwiązanie: 

Szukamy stałej siatki dyfrakcyjnej, którą stanowi płyta ta CD. Wiemy, że:

SIATKA DYFRAKCYJNA Wzór wiążący kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu z długością fali padającego promieniowania i stałą siatki dyfrakcyjnej ma postać: $n\lambda =d\sin {\alpha }_n$ gdzie: $n$ - numer rzędu obserwowanego prążka, $\lambda$ - długość fali padającego promieniowania, $d$ - stała siatki dyfrakcyjnej, ${\alpha }_n$ - kąt, pod jakim obserwujemy prążek n-tego rzędu.

Wyznaczamy zależność na sinus kąta ugięcia:

$d\sin \alpha =n\lambda \mid :d$  

$\sin \alpha =\frac{n\lambda }{d}$  

Z rysunku z zadania 16.3.9 możemy zauważyć, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x}{l}$  

gdzie:

$x$ - odległość między prążkiem pierwszego i zerowego rzędu,

$l$ - odległość płyty CD od ekranu.

Z własności funkcji trygonometrycznych wynika, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\text{ oraz }{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

Zatem stała siatki ma postać:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x}{l}$  

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{x}{l}{\mid }^2$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{x^2}{l^2}$  

$\frac{{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{x^2}{l^2}$  

$\frac{{\left(\frac{n\lambda }{d}\right)}^2}{1-{\left(\frac{n\lambda }{d}\right)}^2}=\frac{x^2}{l^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$x^2\left(1-{\left(\frac{n\lambda }{d}\right)}^2\right)=l^2{\left(\frac{n\lambda }{d}\right)}^2$  

$x^2\left(1-\frac{n^2{\lambda }^2}{d^2}\right)=\frac{l^2{n}^2{\lambda }^2}{d^2}\mid \cdot d^2$  

$x^2{d}^2\left(1-\frac{n^2{\lambda }^2}{d^2}\right)=l^2{n}^2{\lambda }^2$  

$x^2{d}^2-n^2{\lambda }^2{x}^2=l^2{n}^2{\lambda }^2\mid +n^2{\lambda }^2{x}^2$  

$x^2{d}^2=n^2{\lambda }^2{x}^2+l^2{n}^2{\lambda }^2$  

$x^2{d}^2=n^2{\lambda }^2\left(x^2+l^2\right)\mid \sqrt{}$  

$\sqrt{x^2{d}^2}=\sqrt{n^2{\lambda }^2\left(x^2+l^2\right)}$  

$xd=n\lambda \sqrt{x^2+l^2}\mid :x$  

$d=\frac{n\lambda \sqrt{x^2+l^2}}{x}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i zapisujemy wynik z dokładnością do dwóch cyfr znaczących:

$d=\frac{2\cdot 5,32\cdot {10}^{-7}\sout{\text{m}}\cdot \sqrt{{\left(0,41\text{m}\right)}^2+{\left(0,5\text{m}\right)}^2}}{0,41\sout{\text{m}}}=\frac{10,64\cdot {10}^{-7}\cdot \sqrt{0,1681{\text{m}}^2+0,25{\text{m}}^2}}{0,41}=$  

$=\frac{10,64\cdot {10}^{-7}\cdot \sqrt{0,4181{\text{m}}^2}}{0,41}\approx \frac{10,64\cdot {10}^{-7}\cdot 0,6466\text{m}}{0,41}=\frac{6,879824\cdot {10}^{-7}\text{m}}{0,41}\approx$  

$\approx 16,78\cdot {10}^{-7}\text{m}=1,678\cdot {10}^{-6}\text{m}=1,678\text{μm}\approx 1,7\text{μm}$  

Odpowiedź: Stała siatki dyfrakcyjnej zapisana z dokładnością do dwóch cyfr znaczących wynosi: C. 1,7 μm.