W obu zadaniach wiemy, że energia całkowita była $n=2$  razy większa od energii spoczynkowej cząstki (protonu i elektronu):

$E=n{E}_{\text{s}}$  

Całkowitą energię relatywistyczną (suma energii spoczynkowej i kinetycznej) obiektu obliczamy z zależności:

$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$  

gdzie:

$E$  - całkowita energia relatywistyczna, 

$m$  - masa cząstki, 

$c$  - wartość prędkości światła w próżni,

$v$  - szybkość, z jaką porusza się ten obiekt.

Energię spoczynkową obiektu obliczamy z zależności:

$E_{\text{s}}=m{c}^2$  

gdzie:

$E_{\text{s}}$  - energia spoczynkowa obiektu, 

$m$  - masa cząstki, 

$c$  - wartość prędkości światła w próżni.

Wówczas szybkość cząstki przedstawimy wzorem:

$E=n{E}_{\text{s}}$  

$\frac{\cancel{m{c}^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=n\cancel{m{c}^2}$  

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=n\mid \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$  

$1=n\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\mid :n$  

$\frac{1}{n}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}{\mid }^2$  

$\frac{1}{n^2}=1-\frac{v^2}{c^2}\mid +\frac{v^2}{c^2}-\frac{1}{n^2}$  

$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{n^2}\mid \sqrt{}$  

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\mid \cdot c$  

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}$  

Zauważmy, że szybkość protonu i elektronu nie zależy od masy tych cząstek. Oznacza to, że dla ich obu będzie miała postać:

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{2^2}}$  

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{4}}$  

$v=c\sqrt{1-0,25}$  

$v=c\sqrt{0,75}$  

$v=0,866c$  

Odpowiedź: Proton i elektron poruszają z szybkością równą około 0,866 c.