Dane:

$x=\frac{2}{3}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .

Szukane:

$v=?$  

Rozwiązanie:

Szukamy wartości prędkości, z jaką porusza się elektron. Z treści zadania wynika, że energia kinetyczna elektronu to $x$  energii spoczynkowej, czyli:

$E_{\text{k}}=x{E}_{\text{s}}$  

gdzie:

$E_{\text{k}}$  - energia kinetyczna elektronu, 

$E_{\text{s}}$  - energia spoczynkowa elektronu, 

$x$  - część energii spoczynkowej, jaką stanowi energia kinetyczna. 

Relatywistyczną energię kinetyczną obiektu obliczamy z zależności:

$E_{\text{k}}=m{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$  

gdzie:

$E_{\text{k}}$  - relatywistyczna energia kinetyczna, 

$m$  - masa, 

$c$  - wartość prędkości światła w próżni,

$v$  - szybkość, z jaką porusza się ten obiekt.

Energię spoczynkową obiektu obliczamy z zależności:

$E_{\text{s}}=m{c}^2$  

gdzie:

$E_{\text{s}}$  - energia spoczynkowa obiektu, 

$m$  - masa, 

$c$  - wartość prędkości światła w próżni.

Korzystając z powyższych zależności wyznaczmy wartość prędkości elektronu:

$E_{\text{k}}=x{E}_{\text{s}}$  

$\cancel{m{c}^2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=x\cancel{m{c}^2}$  

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1=x\mid +1$  

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=x+1{\mid }^2$  

$\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}={\left(x+1\right)}^2\mid \cdot 1-\frac{v^2}{c^2}$  

$1={\left(x+1\right)}^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\mid :{\left(x+1\right)}^2$  

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}=1-\frac{v^2}{c^2}\mid +\frac{v^2}{c^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$  

$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\mid \sqrt{}$  

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}}\mid \cdot c$  

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}}$  

Podstawmy do równania najpierw wartość c, aby określić jaką część szybkości światła stanowi szybkość elektronu:

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}+1\right)}^2}}$  

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{3}\right)}^2}}$  

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2}}$  

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{\frac{25}{9}}}$  

$v=c\sqrt{1-\frac{9}{25}}$  

$v=c\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}$  

$v=c\sqrt{\frac{16}{25}}$  

$v=\frac{4}{5}c$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{4}{5}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}=\frac{12}{5}\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}=2,4\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}=$  

$=2,4\cdot {10}^5\frac{\text{km}}{\text{s}}=240000\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość prędkości elektronu stanowi 4/5 wartości prędkości światła w próżni, czyli wynosi około 240 000 km/s.