$\text{a)}$  

Obliczając średnią energię kinetyczną skorzystamy z temperatury we wnętrzu Słońca, która wynosi:

$T=15\text{mln}\text{K}=15\cdot {10}^6\text{K}$  

Średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząstek obliczamy korzystając ze wzoru:

$E_{\text{k.sˊr}}=\frac{3}{2}kT$  

gdzie:

$E_{\text{k.sˊr}}$ - średnia energia kinetyczna cząstek,

$k=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\text{J}}{\text{K}}$  - stała Boltzmanna, 

$T$  - temperatura cząstek wyrażona w stopniach Kelwina. 

Zatem energia kinetyczna jąder biorących udział w syntezie termojądrowej we wnętrzu Słońca będzie wynosiła:

$E_{\text{k.sˊr}}=\frac{3}{2}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot 15\cdot {10}^6\text{K}=1,5\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot 15\cdot {10}^6\text{K}=$  

$=31,05\cdot {10}^{-17}\text{J}=31,05\cdot {10}^{-17}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=193,752\cdot 10\text{eV }=$  

$=1,93752\cdot {10}^3\text{eV }=1,93752\text{keV}\approx 1,94\text{keV}$  

Odpowiedź: Średnia energia kinetyczna jąder biorących udział w syntezie termojądrowej we wnętrzu Słońca wynosi około 1,94 keV.

 

$\text{b)}$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że wszystkie jądra biorące udział w procesach mają średnie energie kinetyczne równe:

$E_{\text{k.sˊr}}=1,93752\text{keV}\approx 1,94\text{keV}$  

Energia kinetyczna jest dostarczana w tym procesie. Jeżeli całkowita średnia energia kinetyczna cząstek biorących udział w reakcji będzie mniejsza od różnicy pomiędzy energię spoczynkową substratów, a produktów to reakcja jest egzoenergetyczna:

$E_{\text{k.całkowita}}\text{ < }\Delta E_{\text{s}}$   

W przeciwnym przypadku reakcja byłaby endoenergetyczna. 

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania! Reakcja egzoenergetyczna charakteryzuje się oddawaniem energii do otoczenia podczas jej zachodzenia. Natomiast reakcja endoenergetyczna charakteryzuje się pobieraniem energii z otoczenia podczas jej zachodzenia. W obu przypadkach ważny jest bilans pobieranej i oddawanej energii. W celu określenia typu zachodzącej reakcji ważne jest, żeby porównać ze sobą energię pobraną i energię oddaną. W omawianym przykładzie do pobieranej energii zaliczamy energię kinetyczną cząstek biorących udział w reakcji syntezy. Energią oddaną do otoczenia jest energia wynikająca z powstającego deficytu masy.

 

 Rozważamy poszczególne reakcje. 

▶ Pierwsza reakcja: 2 protony → deuter + pozyton + neutrino elektronowe. 

${}_1^1\mathbf{p}+{}_1^1\mathbf{p}\to {}_1^2\text{H}+{}_{+1}^0\mathbf{e}+{\nu }_{\text{e}}$  

Całkowita średnia energia kinetyczna protonów biorących udział w tej rekcji wynosi:

$E_{\text{k.całkowita}}=E_{\text{k.proton}}+E_{\text{k.proton}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}=E_{\text{k.sˊr}}+E_{\text{k.sˊr}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}=2E_{\text{k.sˊr}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}=2\cdot 1,93752\text{keV}=3,87504\text{keV}\approx 3,88\text{keV}$  

Energię spoczynkową cząstki przedstawiamy wzorem:

$E=m{c}^2$  

gdzie:

$E$ - energia spoczynkowa cząstki,

$m$  - masa cząstki, 

$c^2=931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}$  - kwadrat wartości prędkości światła wyrażony za pomocą jednostek energii przypadających na jednostkę masy atomowej. 

W reakcji substratami są protony, a produktami jest deuter i pozyton. Z tabeli 3 na stronie 332 odczytujemy masy tych cząstek:

$m_{\text{p}}=1,007825\text{u}$  

$m_{\text{D}}=2,014102\text{u}$  

$m_{\text{+e}}=0,00055\text{u}$  

Energie spoczynkowe poszczególnych cząstek będą miały postać:

♦ proton: $E_{\text{p}}=m_{\text{p}}{c}^2$ ,

♦ deuter: $E_{\text{D}}=m_{\text{D}}{c}^2$ ,

♦ pozyton: $E_{\text{+e}}=m_{\text{+e}}{c}^2$ .

Energia spoczynkowa substratów wynosi:

$E_{\text{s.sub.}}=E_{\text{p}}+E_{\text{p}}$  

$E_{\text{s.sub.}}=2E_{\text{p}}$  

$E_{\text{s.sub.}}=2m_{\text{p}}{c}^2$  

Energia spoczynkowa produktów wynosi:

$E_{\text{s.prod.}}=E_{\text{D}}+E_{\text{+e}}$  

$E_{\text{s.prod.}}=m_{\text{D}}{c}^2+m_{\text{+e}}{c}^2$  

Wówczas różnica energii spoczynkowych substratów i produktów ma postać:

$\Delta E_{\text{s}}=E_{\text{s.sub.}}-E_{\text{s.prod.}}$  

$\Delta E_{\text{s}}=2m_{\text{p}}{c}^2-\left(m_{\text{D}}{c}^2+m_{\text{+e}}{c}^2\right)$  

$\Delta E_{\text{s}}=2m_{\text{p}}{c}^2-m_{\text{D}}{c}^2-m_{\text{+e}}{c}^2$  

$\Delta E_{\text{s}}=\left(2m_{\text{p}}-m_{\text{D}}-m_{\text{+e}}\right)c^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta E_{\text{s}}=\left(2\cdot 1,007825\text{u}-2,014102\text{u}-0,00055\text{u}\right)\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=$  

$=\left(2,01565\text{u}-2,014102\text{u}-0,00055\text{u}\right)\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=$  

$=0,000998\text{u}\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=0,929637\text{MeV}=$  

$=929,637\text{keV}\approx 930\text{keV}$  

Ponieważ:

$930\text{keV}\text{ > }3,88\text{keV}$  

To wówczas:

$\Delta E_{\text{s}}\text{ > }{E}_{\text{k.całkowita}}$  

Z tego wynika, że ta reakcja jest egzoenergetyczna. 

▶ Druga reakcja: deuter + proton → hel-3 + promieniowanie gamma. 

${}_1^2\text{H}+{}_1^1\mathbf{p}\to {}_2^3\text{He}+\gamma$  

Całkowita średnia energia kinetyczna deuteru i protonu wynosi:

$E_{\text{k.całkowita}}=E_{\text{k.deuter}}+E_{\text{k.proton}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}=E_{\text{k.sˊr}}+E_{\text{k.sˊr}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}=2E_{\text{k.sˊr}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}\approx 3,88\text{keV}$  

Masa spoczynkowa helu-3 będzie wynosiła:

$m_{\text{He-3}}=3,016029\text{u}$  

Energia spoczynkowa helu-3 będzie wynosiła:

$E_{\text{He-3}}=m_{\text{He-3}}{c}^2$  

Energia spoczynkowa substratów wynosi:

$E_{\text{s.sub.}}=E_{\text{D}}+E_{\text{p}}$  

$E_{\text{s.sub.}}=m_{\text{D}}{c}^2+m_{\text{p}}{c}^2$  

Energia spoczynkowa produktów wynosi:

$E_{\text{s.prod.}}=E_{\text{He-3}}$  

$E_{\text{s.prod.}}=m_{\text{He-3}}{c}^2$  

Wówczas różnica energii spoczynkowych substratów i produktów ma postać:

$\Delta E_{\text{s}}=E_{\text{s.sub.}}-E_{\text{s.prod.}}$  

$\Delta E_{\text{s}}=m_{\text{D}}{c}^2+m_{\text{p}}{c}^2-m_{\text{He-3}}{c}^2$  

$\Delta E_{\text{s}}=\left(m_{\text{D}}+m_{\text{p}}-m_{\text{He-3}}\right)c^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta E_{\text{s}}=\left(2,014102\text{u}+1,007825\text{u}-3,016029\text{u}\right)\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=$  

$=0,005898\text{u}\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=5,493987\text{MeV}\approx 5,5\text{MeV}$  

Ponieważ:

$5,5\text{MeV}\text{ > }3,88\text{keV}$  

To wówczas:

$\Delta E_{\text{s}}\text{ > }{E}_{\text{k.całkowita}}$  

Z tego wynika, że ta reakcja jest egzoenergetyczna. 

▶ Trzecia reakcja: 2 hel-3 → hel-4 + 2 protony. 

$2{}_2^3\text{He}\to {}_2^4\text{He}+2{}_1^1\mathbf{p}$  

Całkowita średnia energia kinetyczna dwóch helów-3 wynosi:

$E_{\text{k.całkowita}}=2E_{\text{k.hel-3}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}=2E_{\text{k.sˊr}}$  

$E_{\text{k.całkowita}}\approx 3,88\text{keV}$  

Masa spoczynkowa helu-4 będzie wynosiła:

$m_{\text{He-4}}=4,002603\text{u}$  

Energia spoczynkowa helu-4 będzie wynosiła:

$E_{\text{He-4}}=m_{\text{He-4}}{c}^2$  

Energia spoczynkowa substratów wynosi:

$E_{\text{s.sub.}}=2E_{\text{He-3}}$  

$E_{\text{s.sub.}}=2m_{\text{He-3}}{c}^2$  

Energia spoczynkowa produktów wynosi:

$E_{\text{s.prod.}}=E_{\text{He-4}}+2E_{\text{p}}$  

$E_{\text{s.prod.}}=m_{\text{He-4}}{c}^2+2m_{\text{p}}{c}^2$  

Wówczas różnica energii spoczynkowych substratów i produktów ma postać:

$\Delta E_{\text{s}}=E_{\text{s.sub.}}-E_{\text{s.prod.}}$  

$\Delta E_{\text{s}}=2m_{\text{He-3}}{c}^2-\left(m_{\text{He-4}}{c}^2+2m_{\text{p}}{c}^2\right)$  

$\Delta E_{\text{s}}=2m_{\text{He-3}}{c}^2-m_{\text{He-4}}{c}^2-2m_{\text{p}}{c}^2$  

$\Delta E_{\text{s}}=\left(2m_{\text{He-3}}-m_{\text{He-4}}-2m_{\text{p}}\right)c^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta E_{\text{s}}=\left(2\cdot 3,016029\text{u}-4,002603\text{u}-2\cdot 1,007825\text{u}\right)\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=$  

$=\left(6,032058\text{u}-4,002603\text{u}-2,01565\text{u}\right)\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=$  

$=0,013805\text{u}\cdot 931,5\frac{\text{MeV}}{\text{u}}=12,8593575\text{MeV}\approx 12,9\text{MeV}$  

Ponieważ:

$12,9\text{MeV}\text{ > }3,88\text{keV}$  

To wówczas:

$\Delta E_{\text{s}}\text{ > }{E}_{\text{k.całkowita}}$  

Z tego wynika, że ta reakcja jest egzoenergetyczna.