Dane:

$v_{\alpha }=1,6\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

 

$\text{a)}$  

 Równanie reakcji 

Mamy radon ${}_{86}^{222}\text{Rn}$ , który rozpada się w wyniku czego emitowane jest promieniowanie alfa, czyli strumień jąder helu ${}_2^4\text{He}$ .

W wyniku tego rozpadu powstaje jądro nowego pierwiastka ${}_{\mathbf{Z}}^{\mathbf{A}}\text{X}$ . Możemy wówczas równanie tej reakcji przedstawić wzorem:

${}_{86}^{222}\text{Ra}\to {}_2^4\text{He}+{}_{\mathbf{Z}}^{\mathbf{A}}\text{X}$  

Korzystając z zasady zachowania nukleonów otrzymujemy, że:

▶ liczba masowa wynosi:

$4+\mathbf{A}=222\mid -4$  

$\mathbf{A}=218$  

▶ liczba atomowa wynosi:

$2+\mathbf{Z}=86\mid -2$  

$\mathbf{Z}=84$  

Korzystając z układu okresowego pierwiastków otrzymujemy, że szukanym pierwiastkiem jest polon:

${}_{\mathbf{Z}}^{\mathbf{A}}\text{X}={}_{84}^{218}\text{Po}$  

Ostatecznie równanie reakcji ma postać:

${}_{86}^{222}\text{Ra}\to {}_2^4\text{He}+{}_{84}^{218}\text{Po}$  

 Stosunek energii kinetycznych 

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_{\text{k}}=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała, 

$v$  - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Mamy do czynienia z cząstką alfa i oraz cząstką powstałą po rozpadzie radonu, czyli polonu. Znamy szybkość cząstki alfa. Energie kinetyczne tych cząstek będą wynosiły:

$E_{\text{k,}\alpha }=\frac{m_{\alpha }{v}^2}{2}$  

$E_{\text{k,Po}}=\frac{m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}^2}{2}$  

Masy atomowe (liczba masowa w unitach) tych cząstek wynoszą odpowiednio:

$m_{\alpha }=4\text{u}$  

$m_{\text{Po}}=218\text{u}$  

 Po emisji promieniowania alfa powstałe w rozpadzie jądro pierwiastka porusza się przeciwnie niż strumień promieniowania alfa (odrzut). Zatem jeżeli początkowo jądro radonu było nieruchome to pęd całkowity tego układu wówczas wynosił:

$p_{\text{c}}=0$  

Po rozpadzie pędy cząstki alfa i polonu będą wynosiły:

$p_{\alpha }=m_{\alpha }v$  

$p_{\text{Po}}=-m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}$  

Z tego wynika, że szybkość powstałego w rozpadzie polonu będzie wynosiła:

$p_{\text{c}}=p_{\alpha }+p_{\text{Po}}$  

$0=m_{\alpha }v-m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}\mid +m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}$  

$m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}=m_{\alpha }v\mid :m_{\text{Po}}$  

$v_{\text{Po}}=\frac{m_{\alpha }}{m_{\text{Po}}}v$  

Stosunek energii kinetycznej cząstki alfa do energii kinetycznej jądra powstałego z rozpadu radonu:

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{\frac{m_{\alpha }{v}^2}{2}}{\frac{m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}^2}{2}}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{m_{\alpha }{v}^2}{\cancel{2}}\cdot \frac{\cancel{2}}{m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}^2}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{m_{\alpha }{v}^2}{m_{\text{Po}}{v}_{\text{Po}}^2}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{m_{\alpha }{v}^2}{m_{\text{Po}}{\left(\frac{m_{\alpha }}{m_{\text{Po}}}v\right)}^2}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{m_{\alpha }\cancel{v^2}}{m_{\text{Po}}\cdot \frac{m_{\alpha }^2}{m_{\text{Po}}^2}\cancel{v^2}}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{m_{\text{Po}}}{m_{\alpha }}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=\frac{218\text{u}}{4\text{u}}$  

$\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}=54,5$  

 

$\text{b)}$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że co do wartości pędy cząstki alfa i polonu są takie same (znak minus świadczy o przeciwnym zwrocie wektorów pędu):

$p_{\alpha }=p_{\text{Po}}=p$  

Z tego wynika, że:

$p=m_{\alpha }v$  

Obliczamy pęd cząstek:

$p=4\text{u}\cdot 1,6\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}=4\cdot 1,66\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot 1,6\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}=$  

$=10,624\cdot {10}^{-20}\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Energia kinetyczna cząstki alfa będzie wynosiła:

$E_{\text{k,}\alpha }=\frac{m_{\alpha }{v}^2}{2}$  

$E_{\text{k,}\alpha }=\frac{\stackrel{2}{\sout{4}}\text{u}\cdot {\left(1,6\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{\underset{1}{\sout{2}}}=2\text{u}\cdot 2,56\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=2\cdot 1,66\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot 2,56\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=8,4992\cdot {10}^{-13}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=8,4992\cdot {10}^{-13}\text{J}=8,4992\cdot {10}^{-13}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=$  

$=53,035088\cdot {10}^5\text{eV}\approx 5,3\cdot {10}^6\text{eV}=5,3\text{MeV}$  

Energia kinetyczna polonu będzie wynosiła:

$54,5=\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{E_{\text{k,Po}}}\mid \cdot E_{\text{k,Po}}$  

$54,5E_{\text{k,Po}}=E_{\text{k,}\alpha }\mid :54,5$  

$E_{\text{k,Po}}=\frac{E_{\text{k,}\alpha }}{54,5}$  

$E_{\text{k,Po}}=\frac{5,3\text{MeV}}{54,5}\approx 0,0972\text{MeV}$