Jednym z długożyciowych izotopów promieniotwórczych...- Zadanie 18.4.2.: Zrozumieć fizykę 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$T = 2, 3 \cdot 10^{6} lat$

$a)$

Naszym zadaniem jest narysować wykres zależności liczby jąder promieniotwórczych, które uległy rozpadowi od czasu.

Zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego liczbę promieniotwórczych pierwiastka, która pozostanie po danym czasie możemy przedstawić zależnością:

$N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T _{1/2}}}$

gdzie:

$N_{0}$ - początkowa liczba jąder w próbce,

$T_{1/2}$ - czas połowicznego rozpadu pierwiastka znajdującego się w próbce,

$t$ - czas po jakim rozważamy ilość jąder pozostałych w próbce.

Oznacza to, że liczbę jąder, które uległy rozpadowi od czasu przedstawimy jako różnicę pomiędzy początkową liczbą jąder, a liczbą jąder która pozostała w próbce:

$N^{'} (t) = N_{0} - N (t)$

$N^{'} (t) = N_{0} - N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T _{1/2}}}$

$N^{'} (t) = N_{0} (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T _{1/2}}})$

Wówczas jeżeli przyjmiemy, za jednostkę czasu kolejne wielokrotności czasu półrozpadu do dla kilku pierwszych otrzymujemy, że:

▶ dla $t = 0$ mamy:

$N^{'} (0) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{0}{T}})$

$N^{'} (0) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{0})$

$N^{'} (0) = N_{0} \cdot (1 - 1)$

$N^{'} (0) = N_{0} \cdot 0$

$N^{'} (0) = 0$

▶ dla $t = T$ mamy:

$N^{'} (T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{T}{T}})$

$N^{'} (T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{1})$

$N^{'} (T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{2})$

$N^{'} (T) = N_{0} \cdot \frac{1}{2}$

$N^{'} (T) = \frac{1}{2} N_{0}$

$N^{'} (T) = 0, 5 N_{0}$

▶ dla $t = 2 T$ mamy:

$N^{'} (2 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{2 T}{T}})$

$N^{'} (2 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{2})$

$N^{'} (2 T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{4})$

$N^{'} (2 T) = N_{0} \cdot \frac{3}{4} 3$

$N^{'} (2 T) = \frac{3}{4} N_{0}$

$N^{'} (2 T) = 0, 75 N_{0}$

▶ dla $t = 3 T$ mamy:

$N^{'} (3 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{3 T}{T}})$

$N^{'} (3 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{3})$

$N^{'} (3 T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{8})$

$N^{'} (3 T) = \frac{7}{8} N_{0}$

$N^{'} (3 T) = 0, 875 N_{0}$

▶ dla $t = 4 T$ mamy:

$N^{'} (4 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{4 T}{T}})$

$N^{'} (4 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{4})$

$N^{'} (4 T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{16})$

$N^{'} (4 T) = \frac{15}{16} N_{0}$

$N^{'} (4 T) = 0, 9375 N_{0}$

▶ dla $t = 5 T$ mamy:

$N^{'} (5 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{5 T}{T}})$

$N^{'} (5 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{5})$

$N^{'} (5 T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{32})$

$N^{'} (5 T) = \frac{31}{32} N_{0}$

$N^{'} (5 T) = 0, 96875 N_{0}$

▶ dla $t = 6 T$ mamy:

$N^{'} (6 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{6 T}{T}})$

$N^{'} (6 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{6})$

$N^{'} (6 T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{64})$

$N^{'} (6 T) = \frac{63}{64} N_{0}$

$N^{'} (6 T) = 0, 987375 N_{0}$

▶ dla $t = 7 T$ mamy:

$N^{'} (7 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{7 T}{T}})$

$N^{'} (7 T) = N_{0} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{7})$

$N^{'} (7 T) = N_{0} \cdot (1 - \frac{1}{128})$

$N^{'} (7 T) = \frac{127}{128} N_{0}$

$N^{'} (7 T) = 0, 9921875 N_{0}$

Wykonamy wykres zależności liczby jąder promieniotwórczych, które uległy rozpadowi od czasu:

$b)$

Z wykresu wykonanego w poprzednim podpunkcie możemy odczytać, że już po czasie odpowiadającym około 9 czasom półrozpadu ilość jąder, która uległa rozpadowi odpowiada początkowej liczbie jąder promieniotwórczych w tej próbce.

Z tego wynika, że ten czas wynosi:

$t = 9 \cdot T$

$t = 9 \cdot 2, 3 \cdot 10^{6} lat = 20, 7 \cdot 10^{6} lat = 20, 7 mln lat$