Na elektron poruszający się po dowolnej orbicie w atomie wodoru działa siła elektrostatyczna, która spełnia rolę siły dośrodkowej:

$F_d=F_e$  

Korzystając z prawa Coulomba wiemy, że wartość siły oddziaływania pomiędzy naładowanymi ciałami możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_C=\frac{k\left|q_1{q}_2\right|}{r^2}$  

gdzie:

$k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$ - współczynnik proporcjonalności,

$q_1$  i $q_2$  - wartości ładunków ciał oddziałujących ze sobą,

$r$  - odległość pomiędzy oddziałującymi ze sobą ciałami.

Współczynnik proporcjonalności w próżni wyrażamy wzorem:

$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$  

gdzie:

${\epsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}$   - przenikalność elektryczna próżni.

W jądrze atomie wodoru znajduje się proton, a po orbicie krąży elektron. Bezwzględna wartość ładunków tych cząstek odpowiada wartości ładunku elementarnego:

$q_1=q_2=e=1,602\cdot {10}^{-19}\text{C}$  

Promień dozwolonej orbity będziemy oznaczać przez $r_n$ , gdzie indeks $n$  odpowiada kolejnemu numerowi orbity, czyli jest liczbą naturalną różną od zera. 

Wówczas wartość siły oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy jądrem atomu wodoru, a elektronem będzie miała postać:

$F_e=\frac{ke\cdot e}{r_n^2}$  

$F_e=\frac{k{e}^2}{r_n^2}$  

$F_e=\frac{\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot e^2}{r_n^2}$  

$F_e=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n^2}$  

Wartość siły dośrodkowej w ogólnym przypadku możemy przedstawić wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$  - wartość szybkości ciała w ruchu po okręgu, 

$r$  - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

W naszym przypadku elektron ma masę:

$m_e=9,11\cdot {10}^{31}\text{kg}$  

W zależności od orbity, po której porusza się ten elektron jego szybkość będzie wynosiła $v_n$ , a promień okręgu, po którym porusza się ten elektron będzie miał postać $r_n$ .

Oznacza to, że wartość siły dośrodkowej dla elektronu poruszającego się po orbicie będzie miał postać: 

$F_d=\frac{m_e{v}_n^2}{r_n}$  

Wyznaczmy promień okręgu, po którym porusza się elektron: 

$F_d=F_e$  

$\frac{m_e{v}_n^2}{r_n}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_n^2}\mid \cdot r_n^2$  

$m_e{v}_n^2{r}_n=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}\mid :m_e{v}_n^2$  

$r_n=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{v}_n^2}$  

Nie znamy jednak szybkość liniowej, z jaką porusza się elektron. Wyznaczmy tą szybkość liniową. 

Pierwszy postulat Bohra mówi nam, że elektron może krążyć w atomie tylko po takich orbitach kołowych, dla których wartość momentu pędu jest równa całkowitej wielokrotności stałej Diraca, czyli stałej Plancka podzielonej przez $2\pi$ :

$L=n\cdot \frac{h}{2\pi }$  

gdzie: 

$n\in \mathbb{N}\text{{0}}$  - liczba naturalna odpowiadająca numerowi orbity, 

$h=6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}=4,14\cdot {10}^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}$  - stała Plancka.  

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$  

gdzie:

$I$  - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu, 

$\omega$  - wartość prędkością kątowej, z jaką porusza się ciało. 

W naszym przypadku mamy elektron poruszający się po orbicie. 

Moment bezwładności jest miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem pewnej osi obrotu. Elektron możemy potraktować jako punkt materialny.  Moment bezwładności ciała punktowego obracającej się wokół pewnej osi ma postać:

$I=m{r}^2$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$r$  - odległość ciała od osi obrotu.

Szybkość kątową ciała w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą szybkości liniowej zależnością:

$\omega =\frac{v}{r}$  

gdzie:

$\omega$  - szybkość kątowa, 

$v$  - szybkość liniowa, 

$r$  - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Zatem moment pędu dla elektronu będzie miał postać:

$L=I\omega$  

$L=m_e{r}_n^2\cdot \frac{v_n}{r_n}$  

$L=m_e{r}_n{v}_n$  

Porównując zależności na moment pędu możemy wyznaczyć szybkość liniową elektronu:

$m_e{r}_n{v}_n=n\frac{h}{2\pi }\mid :m_e{r}_n$  

$v_n=n\frac{h}{2\pi m_e{r}_n}$  

Oznacza to, że promień dozwolonych orbit w atomie wodoru możemy przedstawić ostatecznym wzorem, który będzie miał postać:

$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{v}_n^2}=r_n$  

$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{\left(n\frac{h}{2\pi m_e{r}_n}\right)}^2}=r_n$  

$\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{n}^2\frac{h^2}{4{\pi }^2{m}_e^2{r}_n^2}}=r_n$  

$\frac{\cancel{4}{\pi }^{\cancel{2}}{m}_e^2{r}_n^2{e}^2}{\cancel{4\pi }{\epsilon }_0{m}_e{n}^2{h}^2}=r_n\mid \cdot {\epsilon }_0{m}_e{n}^2{h}^2$  

$\pi m_e^{\cancel{2}}{r}_n^{\cancel{2}}{e}^2={\epsilon }_0\cancel{m_e}{n}^2{h}^2\cancel{r_n}$  

$\pi m_e{r}_n{e}^2=n^2{h}^2{\epsilon }_0\mid :\pi m_e{e}^2$  

$r_n=n^2\frac{h^2{\epsilon }_0}{\pi m_e{e}^2}$   gdzie $n$  jest dowolną liczbą naturalną różną od zera  $n\in \mathbb{N}\text{}\left\{0\right\}$ .

 

Co należało wykazać!