Z treści zadania wynika, że:

▶ obserwujemy wzmocnienia pierwszego rzędu:

$n=1$  

▶ najmniejsze odległości pomiędzy płaszczyznami w krysztale grafitu:

$d_{\text{11}}=0,123\text{nm}$  

$d_{\text{10}}=0,213\text{nm}$  

▶ warunki Bragga dla poszczególnych płaszczyzn:

$\lambda =2d_{\text{11}}\cdot \sin {\theta }_{\text{11}}$  

$\lambda =2d_{\text{10}}\cdot \sin {\theta }_{\text{10}}$  

▶ odległość grafitu od ekranu: 

$L=12,7\text{cm}$  

▶ promień bańki próżniowej wynosi:

$R=6,35\text{cm}$  

▶ założenie wynikające z bardzo małych kątów ugięcia:

$2\theta =\frac{r}{\sqrt{r^2+L^2}}$  

▶ napięcia przyspieszające, za pomocą których otrzymano obrazy na ekranie fluorescencyjnym:

$U_{\text{a}}=5\text{kV}=5\cdot {10}^3\text{V}$  

$U_{\text{b}}=7\text{kV}=7\cdot {10}^3\text{V}$  

$U_{\text{c}}=10\text{kV}={10}^4\text{V}$  

 

UWAGA! Zgodnie z treścią zadania obliczenia należy wykonać w arkuszu kalkulacyjnym.  W poniższym rozwiązaniu korzystamy z ogólnie dostępnych Arkuszy Google [Google Sheets].  (Kliknij w obrazek, aby stworzyć własny arkusz z rozwiązaniem!)

 

$\text{a)}$  

Naszym zadaniem jest obliczenie teoretycznej długości fali materii ${\lambda }_t$  dla poszczególnych podanych napięć przyspieszających. 

Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru, za pomocą którego możemy opisać tą wielkość. 

Za pomocą napięcia przyspieszającego elektrony w lampie są przyspieszane w wyniku czego otrzymują pewną szybkość. Zatem energia elektryczna jest zamieniana na energię kinetyczną elektronu:

$E_e=E_k$  

Energię elektryczną możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$E_e=eU$  

gdzie:

$e=1,602\cdot {10}^{-19}\text{C}$  - bezwzględna wartość ładunku elektronu (wartość ładunku elementarnego odczytana z tablic z dużą dokładnością), 

$U$  - napięcie przyspieszające. 

Energię kinetyczną przyspieszanych elektronów możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$  

gdzie:

$m=9,109\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  - masa spoczynkowa elektronu (odczytana z tablic z dużą dokładnością), 

$v$  - wartość prędkości przyspieszanego elektronu.

Długość fali de Broglie'a możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$\lambda =\frac{h}{p}$  

gdzie:

$p$  - pęd materii,

$h=6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$  - stała Plancka. 

Pęd materii możemy przedstawić jako iloczyn masy elektronu i szybkości z jaką się porusza:

$p=mv$  

Z powyższego wynika, że wzór opisujący teoretyczną długość fali materii ma postać:

${\lambda }_t=\frac{h}{p}$  

${\lambda }_t=\frac{h}{mv}{\mid }^2$  

${\lambda }_t^2=\frac{h^2}{m^2{v}^2}$  

${\lambda }_t^2=\frac{h^2}{\frac{2}{2}\cdot m^2{v}^2}$  

${\lambda }_t^2=\frac{h^2}{2m\cdot \frac{1}{2}{m}^2{v}^2}$  

${\lambda }_t^2=\frac{h^2}{2m{E}_k}$  

${\lambda }_t^2=\frac{h^2}{2m{E}_e}$  

${\lambda }_t^2=\frac{h^2}{2meU}\mid \sqrt{}$  

${\lambda }_t=\frac{h}{\sqrt{2meU}}$  

Zauważmy, że w powyższym wzorze oprócz napięcia pozostałe wielkości są stałymi fizycznymi. Wówczas możemy zapisać, że:

${\lambda }_t=\frac{h}{\sqrt{2me}}\cdot \frac{1}{\sqrt{U}}$  

${\lambda }_t=\chi \cdot \frac{1}{\sqrt{U}}\text{, gdzie }\chi =\frac{h}{\sqrt{2me}}$  

Wyznaczmy wymiar jednostkowy wprowadzonej stałej:

$\left[\chi \right]=\frac{\text{J}\cdot \text{s}}{\sqrt{\text{kg}\cdot \text{C}}}=\frac{\text{J}\cdot \text{s}}{\sqrt{\text{kg}\cdot \frac{\text{J}}{\text{V}}}}=\frac{\text{J}\cdot \text{s}}{\frac{\sqrt{\text{kg}\cdot \text{J}}}{\sqrt{\text{V}}}}=$  

$=\frac{\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \text{s}}{\sqrt{\text{kg}\cdot \text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}\cdot \sqrt{\text{V}}=\frac{\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot \sqrt{\text{V}}=\text{m}\cdot \sqrt{\text{V}}$  

Przechodzimy do Arkusza. Otwieramy nowy pusty arkusz i zaczynamy od przygotowania pola do pracy. Na przykład w kolumnach A i B możemy stworzyć tabele ze stałymi fizycznymi. W tym celu komórki A1 i B1 scalamy i wpisujemy tytuł obszaru Stałe fizyczne. W kolumnie A będzie wpisywali nazwę stałej fizycznej, a w kolumnie B jej wartość. W poszczególne komórki kolumny A możemy wpisać:

A2: wartość ładunku elementarnego [C]:

A3: masa spoczynkowa elektronu [kg]:

A4: stała Plancka [J∙s]: 

Otrzymać możemy wówczas następującą tabelę:

W kolumnie B wpiszemy wartości tych stałych. Aby być pewnym, że arkusz będzie używał matematyki w poszczególnych kolumnach wpiszemy formułę:

B2: =1,602*10^(-19)

B3: =9,109*10^(-31)

B4: =6,626*10^(-34)

UWAGA!  Zmieniamy format liczby. Po wpisaniu tych formuł może okazać się, że pojawi się nam w komórce wartość 0. Oznacza to, że liczby te są zbyt małe, aby zapisać je jako ułamek dziesiętny i musimy zmienić format liczby na naukowy, czyli zapis wykładniczy.  W tym celu zaznaczamy komórki z liczbami B2:B4, a następnie wybieramy opcje Formatuj → Liczba → Naukowy: Otrzymamy wówczas zapis: W formacie tej liczby do przed E mamy liczbę rzeczywistą, którą chcemy zapisać, a po E mamy wykładnik tej liczby. Zauważmy, że dokładność tych liczb to dwa miejsca po przecinku. Możemy zmienić ją opcją Zwiększ liczbę miejsc po przecinku, aby otrzymać trzy liczby (jak odczytano z tablic fizycznych). W tym celu zaznaczamy przedział B2:B4 i klikamy w tę opcję. Powinniśmy otrzymać:

 

Po wpisaniu tych formuł możemy obliczyć  $\chi$ . Wówczas niżej możemy, na przykład w komórce A6 wpisać oznaczenie Χ [m∙\sqrt(V)]:, a w komórce B6 funkcję:

=B4/PIERWIASTEK(2*B3*B2))

Klikamy [enter]. W komórce B6 otrzymujemy wówczas wartość wprowadzonej stałej. W razie potrzeby, jak wcześniej zmieniamy format liczby [instrukcja w tabeli powyżej] na naukowy. 

Mamy już wszystkie wielkości potrzebne, aby obliczyć teoretyczne długości fali. W kolumnie C wpiszemy napięcia przyspieszające podane w zadaniu. W kolumnie D usuniemy wielokrotność z jednostki napięcia. 

Wiemy, że $1\text{kV}=1000\text{V}={10}^3\text{V}$ . W komórce D11 wpiszemy formułę: =C11*10^(3):

Klikamy [enter]. W komórce otrzymamy napięcie wyrażone w woltach. W tej wersji arkusz zapyta nas o uzupełnienie pozostałych wierszy zgodnie z formułą wpisana w komórce D11. Możemy kliknąć ✓ (tick), który potwierdzi nam autouzupełnianie. 

Następnie chcemy otrzymać teoretyczną długość fali zgodnie ze wzorem ${\lambda }_t=\chi \cdot \frac{1}{\sqrt{U}}$ . W tym celu zagospodarujemy kolumny E i F. W kolumnie E obliczymy teoretyczną długość fali wyrażoną w metrach, a w kolumnie F teoretyczną długość fali wyrażoną w nanometrach. 

Następnie do komórki E10 wpiszemy formułę:

=$B$6/PIERWIASTEK(D11)

Znak $ przed B oraz 6 sprawia, że w wpisana w komórce E11 formuła używa zawsze stałej wielkości z komórki B6 nawet po przeciągnięciu danych. Zmieniać się będą natomiast wielkości z kolumny D. Po kliknięciu [enter] otrzymamy teoretyczne długości fal i pozwalamy na automatyczne uzupełnienie pozostałych wielkości. Jeżeli istnieje taka potrzeba to formatujemy zapis na naukowy:

Na końcu zamieniamy jednostkę na nanometry. Ponieważ $1\text{m}={10}^9\text{nm}$  to w komórce F11 możemy użyć formuły:

=E11*10^9

Pozwalamy arkuszowi na autouzupełnianie pozostałych wielkości i formatujemy zapis liczbowy, tak aby otrzymać go z dokładnością do 3 cyfr znaczących:

 Uzupełniamy tabelę podaną w zadaniu: 

U [kV]	λt [nm]	rwew [cm]	rzew [cm]	Dla wewnętrznego  λdośw,w [nm]	Dla zewnętrznego λdośw,z [nm]	Błąd względny
5	0,0173
7	0,0147
10	0,0123

Uwaga! Wyniki różnią się od podanych w zbiorze zadań w wyniku przyjętych przybliżeń stałych fizycznych.

 

$\text{b)}$  

Zaczynamy od wykonania pomiarów linijką w zbiorze zadań. Przyglądając się dokładnie obrazom dyfrakcyjnym a, b i c możemy dostrzec okręgi dyfrakcyjne oznaczone przerywaną czerwoną linią. Jeżeli dokładnie chcemy wykonać poszczególne pomiary to powinniśmy zauważyć, że dwie kratki z rysunku w zbiorze zadań odpowiadają mają długość 1,1 cm, czyli 1 kratka na rysunku ma długość 0,55 cm = 5,5 mm. Na rysunku 1 kratka odpowiada długości 1 cm w rzeczywistości. Oznacza to, że 5,5 mm na rysunku to 1 cm w rzeczywistości. Korzystając z metody proporcji możemy w takim razie zapisać, że:

$5,5\text{mm}\frac{}{}1\text{cm}$  

$1\text{mm}\frac{}{}r$  

Wówczas:

$r=\frac{1\text{mm}}{5,5\text{mm}}\cdot 1\text{cm}=\frac{2}{11}\text{cm}$  

Oznacza to, że 1 mm na rysunku to w rzeczywistości 2/11 cm. 

Korzystając z przygotowane w poprzednim podpunkcie arkusza możemy w kolumnach G i H wpisać długości promieni (wewnętrznego i zewnętrznego) z rysunku w jednostce milimetry: 

Następnie korzystając z zależności, że 1 mm z rysunku to 2/11 cm w rzeczywistości w kolumnach I i J możemy obliczyć długości promieni w rzeczywistości. Wpisujemy formuły w komórkach:

I11: =G11*2/11

J11: =H11*2/11

Po kliknięciu [enter] pozwalamy arkuszowi na autouzupełnianie pozostałych wierszy. Wyniki podajmy z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku:

Całe rozważania odpowiadają bardzo małym kątom padania, co wynika z założenia, że:

$2\theta =\frac{r}{\sqrt{r^2+L^2}}\mid :2$  

$\theta =\frac{r}{2\sqrt{r^2+L^2}}$  

Wówczas prawdziwe jest również, że:

$\sin \theta =\theta =\frac{r}{2\sqrt{r^2+L^2}}$  

Dla pierwszego rzędu podane mamy w treści zadania warunki Bragga. Z rysunków możemy wywnioskować, że promień wewnętrzny mamy dla odległości płaszczyzn równiej $d_{\text{10}}$ , a zewnętrzny dla odległości płaszczyzn $d_{\text{11}}$ . 

▶ Wyznaczmy zależność na długość fali materii na podstawie pomiaru promienia wewnętrznego. 

Korzystamy z warunków:

${\lambda }_{\text{dosˊw,w}}=2d_{\text{10}}\cdot \sin {\theta }_{\text{10}}$  

$\sin {\theta }_{\text{10}}=\frac{r_{\text{wew}}}{2\sqrt{r_{\text{wew}}^2+L^2}}$  

Zatem:

${\lambda }_{\text{dosˊw,w}}=2d_{\text{10}}\cdot \frac{r_{\text{wew}}}{2\sqrt{r_{\text{wew}}^2+L^2}}$  

${\lambda }_{\text{dosˊw,w}}=\frac{d_{\text{10}}{r}_{\text{wew}}}{\sqrt{r_{\text{wew}}^2+L^2}}$  

Do arkusza wprowadzamy wartość odległości grafitu od lampy oraz odległości płaszczyzn krystalicznych grafitu. Możemy wykorzystać przestrzeń nad tabelą danych:

W kolumnie K11 wpiszmy formułę, która pozwoli nam obliczyć doświadczalną długość fali dla promienia wewnętrznego. W komórce K11 wpisujemy:

=($G$4*I11)/(PIERWIASTEK(I11^2+$G$3^2)) 

Po kliknięciu [enter] pozwalamy arkuszowi na autouzupełnianie pozostałych wierszy. Podobnie jak dla teoretycznie wyznaczonej wartości długości fali wyniki podajmy z dokładnością do trzech cyfr znaczących:

▶ Wyznaczmy zależność na długość fali materii na podstawie pomiaru promienia zewnętrznego. 

Korzystamy z warunków:

${\lambda }_{\text{dosˊw,z}}=2d_{\text{11}}\cdot \sin {\theta }_{\text{10}}$  

$\sin {\theta }_{\text{11}}=\frac{r_{\text{zew}}}{2\sqrt{r_{\text{zew}}^2+L^2}}$  

Zatem:

${\lambda }_{\text{dosˊw,z}}=2d_{\text{11}}\cdot \frac{r_{\text{zew}}}{2\sqrt{r_{\text{zew}}^2+L^2}}$  

${\lambda }_{\text{dosˊw,z}}=\frac{d_{\text{11}}{r}_{\text{zew}}}{\sqrt{r_{\text{zew}}^2+L^2}}$  

W kolumnie L11 wpiszmy formułę, która pozwoli nam obliczyć doświadczalną długość fali dla promienia zewnętrznego. W komórce L11 wpisujemy:

=($G$5*J11)/(PIERWIASTEK(J11^2+$G$3^2)) 

Wówczas:

Po kliknięciu [enter] pozwalamy arkuszowi na autouzupełnianie pozostałych wierszy. Podobnie jak dla teoretycznie wyznaczonej wartości długości fali wyniki podajmy z dokładnością do trzech cyfr znaczących:

 Uzupełniamy tabelę podaną w zadaniu: 

U [kV]	λt [nm]	rwew [cm]	rzew [cm]	Dla wewnętrznego  λdośw,w [nm]	Dla zewnętrznego λdośw,z [nm]	Błąd względny
5	0,0173	1,09	1,82	0,0182	0,0174
7	0,0147	0,82	1,45	0,0137	0,0140
10	0,0123	0,73	1,27	0,0122	0,0123

Uwaga! Wyniki różnią się od podanych w zbiorze zadań w wyniku przyjętych przybliżeń stałych fizycznych.

 

$\text{c)}$  

Dla promienia wewnętrznego i zewnętrznego długość padającej fali elektronów jest taka sama, a otrzymane doświadczalnie różnice wynikają z:

• dokładności podanych w zadaniu wielkości takich jak odległości płaszczyzn w monokrysztale grafitu, czy odległości grafitu od ekranu, 
• przyjętego przybliżenia dla małych kątów sinθ≈θ, 
• dokładności pomiaru promieni wewnętrznego i zewnętrznego za pomocą linijki, 
• dokładności, z jakie przyjęto dla stałych fizycznych (masa elektronu, wartość ładunku elementarnego, stała Plancka).

Dla otrzymanego promienia wewnętrznego i zewnętrznego możemy wyciągnąć średnią arytmetyczną długości fali otrzymanej doświadczalnie. W kolumnie M wyznaczymy średnie długości fali dla poszczególnych napięć przyspieszających. Do komórki M11 wpiszemy formułę, która wyznaczy nam średnią arytmetyczną długości fali otrzymywanej doświadczalnie:

=ŚREDNIA(K11:L11)  LUB  =(K11+L11)/2

Po kliknięciu [enter] pozwalamy arkuszowi na autouzupełnianie pozostałych wierszy. Podobnie jak dla teoretycznie wyznaczonej wartości długości fali wyniki podajmy z dokładnością do trzech cyfr znaczących:

Błąd względny wyznaczmy za pomocą zależności:

$\delta =\frac{\left|x-x_d\right|}{x}\cdot 100\%$  

gdzie:

$x$  - rzeczywista wielkość fizyczna (teoretyczna), 

$x_d$  - wielkość wyznaczona doświadczalnie. 

Wówczas dla wyznaczanej fali materii skojarzonej z elektronami możemy zapisać, że:

$\delta =\frac{\left|{\lambda }_t-{\lambda }_d\right|}{{\lambda }_t}\cdot 100\%$  

W arkuszu wartość bezwzględną możemy obliczać korzystając z funkcji MODUŁ.LICZBY. 

UWAGA! Aby otrzymać format liczby w postaci procentów zaznaczamy komórki, w których chcemy, aby wartości wyrażone były za pomocą procentów, a następnie wybieramy opcje Formatuj → Liczba → Procentowy:

W kolumnie N stworzymy błąd względny. Komórki N9 i N10 scalamy i nadajemy tytuł kolumnie. Do komórki N11 wpiszemy formułę:

=(MODUŁ.LICZBY(F11-L11))/(F11)

Po kliknięciu [enter] pozwalamy arkuszowi na autouzupełnianie pozostałych wierszy. Zakres komórek N11:N13 formatujemy na zapis procentowy i ustawiamy na dokładność 3 cyfr po przecinku:

 Uzupełniamy tabelę podaną w zadaniu: 

U [kV]	λt [nm]	rwew [cm]	rzew [cm]	Dla wewnętrznego  λdośw,w [nm]	Dla zewnętrznego λdośw,z [nm]	Błąd względny
5	0,0173	1,09	1,82	0,0182	0,0174	0,496%
7	0,0147	0,82	1,45	0,0137	0,0140	4,528%
10	0,0123	0,73	1,27	0,0122	0,0123	0,001%

Uwaga! Wyniki różnią się od podanych w zbiorze zadań w wyniku przyjętych przybliżeń stałych fizycznych.

 

$\text{d)}$  

Można stwierdzić, że elektrony ulegają dyfrakcji na monokryształach grafitu o czym świadczą bardzo małe błędy względne w porównaniu wartości teoretycznych z doświadczalnymi. Mają zatem naturę falową.