Naszym zadaniem jest wykazanie wzoru na promień dozwolonej orbity w atomie, korzystając z prawa Bohra.

Pierwszy postulat Bohra mówi nam, że elektron może krążyć w atomie tylko po takich orbitach kołowych, dla których wartość momentu pędu jest równa całkowitej wielokrotności stałej Diraca, czyli stałej Plancka podzielonej przez $2\pi$:

$L=n\cdot \frac{h}{2\pi }$

gdzie: 

$L$ - wartość momentu pędu,

$n\in \mathbb{N}\backslash \{0\}$ - liczba naturalna odpowiadająca numerowi orbity,

$h$ - stała Plancka.

W naszym przypadku _ ruch elektron - proton) możemy założyć, że elektron krąży wokół jądra, którym jest proton. Czyli tak jak atom wodoru.

Zgodnie z dynamiką wartość momentu pędu ciała definiujemy jako:

$|\vec{L}|=|\vec{r}|\cdot |\vec{p}|\cdot \sin \alpha$

gdzie:

$|\vec{r}|$ - wartość wektora ramienia ciała,

$|\vec{p}|$ - wartość wektora pędu,

$|\vec{L}|$ - wartość momentu pędu,

Możemy to zapisać jako:

$L=r\cdot p\cdot \sin \alpha$

$\alpha$ - kąt między wektorami ramienia i pędu.

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Zatem wartość momentu pędu możemy zapisać jako:

$L=r\cdot p\cdot \sin \alpha$

$L=r\cdot m\cdot v\cdot \sin \alpha$

Widzimy, że wartość kąta alfa zależy od względnego położenia ramienia elektronu, krążącego na orbicie atomu, od jego wektora prędkości. W modelu Bohra

zakładamy, że elektrony poruszają się po orbitach kołowych. Aby taka sytuacja miała miejsce, to kąt między tymi wielkościami musi być kątem prosty. Wtedy sinus tego kąta jest równy jeden, a wartość momenty pędu wynosi:

$\sin \alpha =1$, to $L=r\cdot m\cdot v\cdot 1$

$L=r\cdot m\cdot v$

Porównajmy ze sobą wartości momentu pędu i otrzymujemy:

$L=L$

$n\cdot \frac{h}{2\pi }=r\cdot m\cdot v$

Przekształćmy powyższe równanie względem szybkości elektronu w atomie i otrzymujemy:

$n\cdot \frac{h}{2\pi }=r\cdot m\cdot v\mid :rm$

$v=\frac{n\cdot \frac{h}{2\pi }}{rm}$

$v=\frac{n\cdot h}{2\pi rm}$

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{R}$

gdzie:

$F_{\text{d}}$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało, 

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$R$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Promień okręgu, po której porusza się elektron jest równy promieniowi orbity (czyli odległość elektronu od protonu), więc wartość siły dośrodkowej wynosi:

$F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{r}$

Korzystając z prawa Coulomba wiemy, że wartość siły oddziaływania pomiędzy naładowanymi elektrycznie ciałami możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{\text{C}}=k\cdot \frac{\left|q_1{q}_2\right|}{r^2}$  

gdzie:

$F_{\text{C}}$ - wartość siły oddziaływania elektrostatycznego,

$k$ - stała elektryczna,

$q_1$, $q_2$ - wartości ładunków elektrycznych,

$r$ - odległość między ładunkami.

W przypadku elektronu i proton obie te cząstki mają tą samą wartość ładunku, który jest ładunkiem elementarnym, ale mają przeciwne znaki. Oznaczamy go jako $e$. Zatem wzór na wartość siły oddziaływania elektrostatycznego to:

$F_{\text{C}}=k\cdot \frac{\left|q_1{q}_2\right|}{r^2}$

$F_{\text{C}}=k\cdot \frac{\left|-e\cdot e\right|}{r^2}$

$F_{\text{C}}=k\cdot \frac{\left|-e^2\right|}{r^2}$

$F_{\text{C}}=k\cdot \frac{e^2}{r^2}$

Kiedy elektron okrąża proton, to wartość siły oddziaływania elektrostatycznego jest równa wartości jego siły dośrodkowej:

$F_{\text{C}}=F_{\text{d}}$

Wstawiamy do tego równania nasze wzory i otrzymujemy:

$k\cdot \frac{e^2}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$

Przekształćmy to równanie względem promienia atomu, czyli odległości między elektronem i protonem:

$k\cdot \frac{e^2}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\mid \cdot r^2$

$k\cdot e^2=m{v}^2\cdot r\mid :m{v}^2$

$r=\frac{k\cdot e^2}{m{v}^2}$

Wstawmy teraz nasz wzór na szybkość elektronu i otrzymujemy:

$r=\frac{k\cdot e^2}{m{v}^2}$

$r=\frac{k\cdot e^2}{m{\left(\frac{n\cdot h}{2\pi rm}\right)}^2}$

$r=\frac{k\cdot e^2}{m\frac{n^2\cdot h^2}{4{\pi }^2{r}^2{m}^2}}$

$r=\frac{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}{m{n}^2{h}^2}\mid :r^2$

$\frac{r}{r^2}=\frac{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}{m{n}^2{h}^2}$

$\frac{1}{r}=\frac{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}{m{n}^2{h}^2}$

$r=\frac{m{n}^2{h}^2}{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}$

$r=n^2\frac{m{h}^2}{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}$

Wyznaczmy wzór na promień na pierwszej orbicie:

$r_1=1^2\frac{m{h}^2}{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}$

$r_1=\frac{m{h}^2}{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}$

Wtedy nasz wzór na promień elektronu na n-tej orbicie ma postać:

$r_n=n^2\frac{m{h}^2}{4{\pi }^2{r}^2{m}^2\cdot k\cdot e^2}$

$r_n=n^2{r}_1$