Początkowo piłeczka o masie $m$  porusza się z pewną prędkością o wartości  $u_1$  w stronę nieruchomej piłeczki o masie $M$ .

Po zderzeniu centralnym sprężystym piłeczki te zaczną poruszać się z prędkościami o przeciwnych zwrotach, przy czym piłeczka o masie $m$  będzie zmieni zwrot swojej prędkości na przeciwny. 

Wówczas pędy początkowe piłeczek będą wynosiły:

$p_{m.0}=m{u}_m$  

$p_{M.0}=0$  

Natomiast pędy piłeczek po zderzeniu mają postać:

$p_m=-m{v}_m$  

$p_M=M{v}_M$  

Korzystając z zasady zachowania pędu możemy zapisać równanie:

$p_M+p_m=p_{M.0}+p_{M.0}$  

$M{v}_M-m{v}_m=0+m{u}_m\mid +m{v}_m$  

$M{v}_M=m{u}_m+m{v}_m$  

Energie kinetyczne tych piłeczek przed zderzeniem będą miały postać:

$E_{k.m.0}=\frac{1}{2}m{u}_m^2$  

$E_{k.M.0}=0$  

Natomiast energie kinetyczne tych piłeczek po zderzeniu będą miały postać:

$E_{k.m}=\frac{1}{2}m{v}_m^2$  

$E_{k.M}=\frac{1}{2}M{v}_M^2$  

Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie:

$E_{k.m}+E_{k.M}=E_{k.m.0}+E_{k.M.0}$  

$\frac{1}{2}m{v}_m^2+\frac{1}{2}M{v}_M^2=\frac{1}{2}m{u}_m^2+0\mid \cdot 2$  

$m{v}_m^2+M{v}_M^2=m{u}_m^2\mid -m{v}_m^2$  

$M{v}_M^2=m{u}_m^2-m{v}_m^2$  

Mamy zatem dwa równania i dwie niewiadome. Możemy wówczas zapisać układ równań:

$\{\begin{array}{l}M{v}_M^2=m{u}_m^2-m{v}_m^2\\ M{v}_M=m{u}_m+m{v}_m\end{array}$  

Dzielimy równania stronami i wyznaczamy wartość prędkości piłki o masie $M$  po zderzeniu :

$\frac{+\{\begin{array}{l}M{v}_M^2=m{u}_m^2-m{v}_m^2\\ M{v}_M=m{u}_m+m{v}_m\end{array}}{\frac{M{v}_M^2}{M{v}_M}=\frac{m{u}_m^2-m{v}_m^2}{m{u}_m+m{v}_m}}$  

$v_M=\frac{m\left(u_m^2-v_m^2\right)}{m\left(u_m+v_m\right)}$  

$v_M=\frac{u_m^2-v_m^2}{u_m+v_m}$  

$v_M=\frac{\left(u_m-v_m\right)\left(u_m+v_m\right)}{u_m+v_m}$  

$v_M=u_m-v_m$  

Wówczas wartość prędkości piłeczki o masie $m$  po odbiciu wynosi:

$m{u}_m+m{v}_m=M{v}_M$  

$m{u}_m+m{v}_m=M\left(u_m-v_m\right)$  

$m{u}_m+m{v}_m=M{u}_m-M{v}_m\mid +M{v}_m-m{u}_m$  

$m{v}_m+M{v}_m=M{u}_m-m{u}_m$  

$\left(m+M\right)v_m=\left(M-m\right)u_m\mid :\left(m+M\right)$  

$v_m=\frac{M-m}{m+M}{u}_m$  

Pytamy, jaką część energii styraci piłeczka, czyli jaki jest iloraz zmiany energii kinetycznej piłeczki o masie $m$  do jej początkowej energii kinetycznej:

$k=\frac{\left|\Delta E_{k.m}\right|}{E_{k.m.0}}$  

$k=\frac{\left|E_{k.m}-E_{k.m.0}\right|}{E_{k.m.0}}$  

$k=\frac{\left|\frac{1}{2}m{v}_m^2-\frac{1}{2}m{u}_m^2\right|}{\frac{1}{2}m{u}_m^2}$  

$k=\frac{\left|\frac{1}{2}m{\left(\frac{M-m}{m+M}{u}_m\right)}^2-\frac{1}{2}m{u}_m^2\right|}{\frac{1}{2}m{u}_m^2}$  

$k=\frac{\left|\frac{1}{2}m\frac{{\left(M-m\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}{u}_m^2-\frac{1}{2}m{u}_m^2\right|}{\frac{1}{2}m{u}_m^2}$  

$k=\frac{\left|\left(\frac{{\left(M-m\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}-1\right)\cdot \frac{1}{2}m{u}_m^2\right|}{\frac{1}{2}m{u}_m^2}$  

$k=\frac{\left|\frac{{\left(M-m\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}-1\right|\cdot \frac{1}{2}m{u}_m^2}{\frac{1}{2}m{u}_m^2}$  

$k=\left|\frac{{\left(M-m\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}-1\right|$  

$k=\left|\frac{{\left(M-m\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}-\frac{{\left(m+M\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}\right|$  

$k=\left|\frac{{\left(M-m\right)}^2-{\left(m+M\right)}^2}{{\left(m+M\right)}^2}\right|$  

$k=\frac{\left|{\left(M-m\right)}^2-{\left(m+M\right)}^2\right|}{\left|{\left(m+M\right)}^2\right|}$  

$k=\frac{\left|M^2+m^2-2mM-\left(m^2+M^2+2mM\right)\right|}{{\left(m+M\right)}^2}$  

$k=\frac{\left|M^2+m^2-2mM-m^2-M^2-2mM\right|}{{\left(m+M\right)}^2}$  

$k=\frac{\left|-4mM\right|}{{\left(m+M\right)}^2}$  

$k=\frac{4mM}{{\left(m+M\right)}^2}$  

 

$\text{a)}$  

Jeżeli:

$M=0,998m$  

To:

$k=\frac{4mM}{{\left(m+M\right)}^2}$  

$k=\frac{4m\cdot 0,998m}{{\left(m+0,998m\right)}^2}$  

$k=\frac{3,992m^2}{{\left(1,998m\right)}^2}$  

$k=\frac{3,992m^2}{3,992004m^2}$  

$k\approx 0,999999$  

 

$\text{b)}$  

Jeżeli:

$M=12m$  

To:

$k=\frac{4mM}{{\left(m+M\right)}^2}$  

$k=\frac{4m\cdot 12m}{{\left(m+12m\right)}^2}$  

$k=\frac{48m^2}{{\left(13m\right)}^2}$  

$k=\frac{48m^2}{169m^2}$  

$k\approx 0,28$