Dane:

$f_1=536\text{Hz}$

$f_2=486\text{Hz}$

$v_{\text{d}}=340\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Szukane:

$v_{\text{zˊ}}=?$     

Rozwiązanie:

Rozpatrujemy zjawisko Dopplera dla zbliżającego się źródła dźwięku do nieruchomego obserwatora:

$f_1=f_0\cdot \frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}-v_{\text{zˊ}}}$  

$f_1-\text{częstotliwosˊcˊ dzˊwięku odbierana przez obserwatora}$

$f_0-\text{częstotliwosˊcˊ wysyłana przez zˊroˊdło dzˊwięku}$

$v_{\text{d}}-\text{prędkosˊcˊ dzˊwięku}$

$v_{\text{zˊ}}-\text{prędkosˊcˊ z jaką porusza się zˊroˊdło}$

 

Rozpatrujemy zjawisko Dopplera dla oddalającego się źródła dźwięku od nieruchomego obserwatora:

$f_2=f_0\cdot \frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}+v_{\text{zˊ}}}$  

$f_2-\text{częstotliwosˊcˊ dzˊwięku odbierana przez obserwatora}$

 

Podzielmy oba otrzymane równania stronami:

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{f_0\cdot \frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}-v_{\text{zˊ}}}}{f_0\cdot \frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}+v_{\text{zˊ}}}}$  

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{\frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}-v_{\text{zˊ}}}}{\frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}+v_{\text{zˊ}}}}$  

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{v_{\text{d}}}{v_{\text{d}}-v_{\text{zˊ}}}\cdot \frac{v_{\text{d}}+v_{\text{zˊ}}}{v_{\text{d}}}$  

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{v_{\text{d}}+v_{\text{zˊ}}}{v_{\text{d}}-v_{\text{zˊ}}}$  

$f_1\cdot \left(v_{\text{d}}-v_{\text{zˊ}}\right)=f_2\cdot \left(v_{\text{d}}+v_{\text{zˊ}}\right)$  

$f_1{v}_{\text{d}}-f_1{v}_{\text{zˊ}}=f_2{v}_{\text{d}}+f_2{v}_{\text{zˊ}}$  

Wyznaczmy szukaną prędkość źródła - samochodu.

$f_1{v}_{\text{d}}-f_2{v}_{\text{d}}=f_1{v}_{\text{zˊ}}+f_2{v}_{\text{zˊ}}$  

$\left(f_1-f_2\right)\cdot v_{\text{d}}=\left(f_1+f_2\right)\cdot v_{\text{zˊ}}$  

$v_{\text{zˊ}}=\frac{f_1-f_2}{f_1+f_2}\cdot v_{\text{d}}$  

$v_{\text{zˊ}}=\frac{536\text{Hz}-486\text{Hz}}{536\text{Hz}+486\text{Hz}}\cdot 340\frac{\text{m}}{\text{s}}=\frac{50}{1022}\cdot 340\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 16,6\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 60\frac{\text{km}}{\text{h}}$