Na satelitę obiegającego ciało niebieskie po orbicie kołowej działa siła grawitacji pełniąca rolę siły dośrodkowej. Siłę dośrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m\cdot v^2}{R}$

$m-\text{masa ciała (satelity)}$

$R-\text{promienˊ okręgu}$   

$v-\text{prędkosˊcˊ ciała}$  

 

Prędkość liniową w ruchu po okręgu możemy przedstawić wzorem:

$v=\frac{2\pi R}{T}$  

$T-\text{okres obiegu ciała po okręgu}$  

 

Wówczas siłę dośrodkową możemy wyrazić wzorem:

$F_d=\frac{m\cdot v^2}{R}$  

$F_d=\frac{m\cdot {\left(\frac{2\pi R}{T}\right)}^2}{R}$  

$F_d=\frac{4{\pi }^2{R}^{2}m}{T^{2}R}$  

$F_d=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot m\cdot R}{T^2}$  

 

Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_g=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

$G-\text{stała grawitacji}$

$m_1,m_2-\text{masy oddziałujących ciał}$   

$r-\text{odległosˊcˊ między sˊrodkami ciał}$  

 

W naszym przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

$F_g=G\cdot \frac{m\cdot M}{R^2}$

$m-\text{masa satelity}$

$M-\text{masa planety}$   

 

Porównajmy siłę grawitacji z dośrodkową i wyznaczmy wartość okresu obrotu:

$F_g=F_d$  

$G\cdot \frac{m\cdot M}{R^2}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot m\cdot R}{T^2}\mid :m$  

$G\cdot \frac{M}{R^2}=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot R}{T^2}\mid \cdot T^2\cdot R^2$  

$G\cdot M\cdot T^2=4\cdot {\pi }^2\cdot R^3\mid :\left(G\cdot M\right)$  

$T^2=\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot R^3}{G\cdot M}\mid \sqrt{}$  

$T=\sqrt{\frac{4\cdot {\pi }^2\cdot R^3}{G\cdot M}}$  

$T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{R^3}{M\cdot G}}$

 

Odp. C.