$a)$  

Wartość natężenia pola grawitacyjnego $\gamma$   wytworzonego przez ciało o masie $M$   można zapisać, za pomocą wzoru:

$\gamma =G\cdot \frac{M}{r^2}$  

$r-\text{odległosˊcˊ od sˊrodka ciała będącego zˊroˊdłem pola grawitacyjnego}$

$G-\text{stała grawitacji}$  

 

Jeżeli:

$r\le R$  

to:

$\gamma =G\cdot \frac{M}{r^2}$  

Zakładamy, że gęstość planety jest stała. Korzystając z wzoru na gęstość wyznaczamy masę:

$d=\frac{M}{V}\Rightarrow M=d\cdot V$  

$d-\text{gęstosˊcˊ planety}$  

$M-\text{masa fragmentu objętosˊci planety dla promienia}r\text{od sˊrodka planety}$  

$V-\text{fragment objętosˊci planety}$  

 

Przyjmijmy, że planeta jest kulą, wówczas jej objętość wynosi:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$  

 

Z tego wynika, że natężenie pola grawitacyjnego będzie miało postać:

$\gamma =G\cdot \frac{M}{r^2}$  

$\gamma =G\cdot \frac{d\cdot V}{r^2}$  

$\gamma =G\cdot \frac{d\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3}{r^2}$  

$\gamma =\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot G\cdot d\cdot r$  

 

$b)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$R=60\cdot {10}^6\text{m}$  

Z wykresu odczytujemy, że dla podanej długości promienia natężenie ma postać:

$\gamma =9\frac{\text{N}}{\text{kg}}$  

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$    

 

Otrzymany w podpunkcie $a)$   wzór przekształcamy, tak aby wyznaczyć gęstość planety:

$\gamma =\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot G\cdot d\cdot r$  

Za dowolny promień $r$   w powyższym wzorze podstawiamy promień $R$   planety.

$\gamma =\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot G\cdot d\cdot R\mid \cdot 3$  

$3\cdot \gamma =4\cdot \pi \cdot G\cdot d\cdot R\mid :\left(4\cdot \pi \cdot G\cdot R\right)$  

$\frac{3\cdot \gamma }{4\cdot \pi \cdot G\cdot R}=d$  

 

$d=\frac{3\cdot \gamma }{4\cdot \pi \cdot G\cdot R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{3\cdot 9\frac{\text{N}}{\text{kg}}}{4\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\cdot 60\cdot {10}^6\text{m}}=\frac{27\frac{\text{N}}{\text{kg}}}{5026,512\cdot {10}^{-5}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^3}{{\text{kg}}^2}}=\frac{27\text{kg}}{5,026512\cdot {10}^3\cdot {10}^{-5}{\text{m}}^3}=\frac{27\text{kg}}{5,026512\cdot {10}^{-2}{\text{m}}^3}\approx 5,37\cdot {10}^2\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=537\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

 

$c)$  

Odczytujemy wartość natężenia dla wartości $h$   w odległości od powierzchni planety:

$h=1,2\cdot {10}^8\text{m}=1,2\cdot {10}^2\cdot {10}^6\text{m}=120\cdot {10}^6\text{m}$  

Oznacza to, że:

$r=R+h$  

$r=60\cdot {10}^6\text{m}+120\cdot {10}^6\text{m}=180\cdot {10}^6\text{m}$  

Z wykresu wynika, że natężenia pola na tej wysokości wynosi:

$\gamma =1\frac{\text{N}}{\text{kg}}$