Zależności podane w treści zadania:

▶ natężenie prądu płynącego w pierwszym przewodniku:$I_1=I$,

▶ natężenie prądu płynącego w drugim przewodniku: $I_2=2I$.

 

$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest odpowiedź na pytanie:

„Jaką część całkowitej indukcji pola B w punkcie P stanowi wartość wektora indukcji pola magnetycznego pochodzącego od przewodnika 1?”.

Zacznijmy od wyznaczenia wartości wektora wypadkowej indukcji w punkcie P. Wiemy, że punkt ten leży w tej samej płaszczyźnie co przewodniki oraz jego odległość jest jednakowa od każdego z przewodników. Oznacza to, że znajduje się on dokładnie na środku pomiędzy nimi i prawdziwa jest zależność:

$r=\frac{1}{2}d$

gdzie:

$r$ - odległość punktu P od każdego z przewodników, 

$d$ - odległość pomiędzy przewodnikami. 

Wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez bardzo długi prostoliniowy przewodnik w pewnej odległości od tego przewodnika przedstawiamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

gdzie:

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez prostoliniowy przewodnik,

${\mu }_0$ - przenikalność magnetyczna próżni,

$I$ - natężenie prądu płynącego przez przewodnik,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy indukcję pola magnetycznego od osi przewodnika.

Zatem wartość indukcji pola magnetycznego pochodzącego od pierwszego przewodnika w punkcie P przedstawimy wzorem:

$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r}$

$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \cdot \frac{1}{2}d}$

$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi d}$

Wartość indukcji pola magnetycznego pochodzącego od drugiego przewodnika w punkcie P przedstawimy wzorem:

$B_2=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi r}$

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot 2I}{2\pi \cdot \frac{1}{2}d}$

$B_2=\frac{2{\mu }_{0}I}{\pi d}$

Wyznaczmy wypadkowy wektor indukcji w punkcie P. Najpierw korzystając z reguły prawej ręki określmy zwrot indukcji pola magnetycznego pochodzącej od każdego z przewodników. 

Zauważmy, że w punkcie P zwroty wektora indukcji magnetycznej pochodzącej od poszczególnych przewodników są takie same. Oznacza to, że wypadkowe natężenie pola magnetycznego w tym punkcie będzie miało wartość odpowiadającą sumie indukcji magnetycznej pochodzącej od poszczególnych przewodników:

$B=B_1+B_2$

Oznacza to, że:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi d}+\frac{2{\mu }_{0}I}{\pi d}$

$B=\frac{3{\mu }_{0}I}{\pi d}$

Naszym zadaniem jest określenie jaką część tej wartości stanowi indukcja magnetyczna pochodząca od pierwszego przewodnika. Oznacza to, że:

$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi d}$

$B_1=\frac{3}{3}\cdot \frac{{\mu }_{0}I}{\pi d}$

$B_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{3{\mu }_{0}I}{\pi d}$

$B_1=\frac{1}{3}B$

Odpowiedź: Wartość wektora indukcji pola magnetycznego pochodząca od przewodnika 1 stanowi 1/3 całkowitej indukcji pola magnetycznego w punkcie P.

 

$\mathbf{b})$  

$\text{1.}$   

Natężenie prądu w przewodniku wzrasta 2 razy, a natężenie prądu w przewodniku 2 maleje 2 razy:

$I_1{}^{\prime }=2\cdot I_1\text{, czyli }{I}_1{}^{\prime }=2\cdot I$  

$I_2{}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot I_2\text{, czyli }{I}_2{}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot I\Rightarrow I_2{}^{\prime }=I$  

Wówczas indukcja pola magnetycznego pochodząca od poszczególnych przewodników w punkcie P będzie miała postać:

$B_1{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_1{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$   

$B_2{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_2{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Całkowita indukcja pola magnetycznego w tym punkcie będzie miała postać:

$B{}^{\prime }=B_1{}^{\prime }+B_2{}^{\prime }$   

$B{}^{\prime }=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{{\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Wówczas:

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$  

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=1\mid \cdot B$   

$B{}^{\prime }=B$  

---

$\text{2.}$   

Natężenie prądu w przewodniku wzrasta 2 razy, a natężenie prądu w przewodniku 2 nie ulegnie zmianie:

$I_1{}^{\prime }=2\cdot I_1\text{, czyli }{I}_1{}^{\prime }=2\cdot I$  

$I_2{}^{\prime }=I_2\text{, czyli }{I}_2{}^{\prime }=2\cdot I$  

Wówczas indukcja pola magnetycznego pochodząca od poszczególnych przewodników w punkcie P będzie miała postać:

$B_1{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_1{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B_2{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_2{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Całkowita indukcja pola magnetycznego w tym punkcie będzie miała postać:

$B{}^{\prime }=B_1{}^{\prime }+B_2{}^{\prime }$  

$B{}^{\prime }=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$   

Wówczas:

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$   

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{4}{3}\mid \cdot B$  

$B{}^{\prime }=\frac{4}{3}\cdot B$   

---

$\text{3.}$   

Natężenie prądu w przewodniku wzrasta 2 razy, a natężenie prądu w przewodniku 2 również wzrasta 2 razy:

$I_1{}^{\prime }=2\cdot I_1\text{, czyli }{I}_1{}^{\prime }=2\cdot I$  

$I_2{}^{\prime }=2\cdot I_2\text{, czyli }{I}_2{}^{\prime }=2\cdot 2\cdot I=4\cdot I$    

Wówczas indukcja pola magnetycznego pochodząca od poszczególnych przewodników w punkcie P będzie miała postać:

$B_1{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_1{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 2\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B_2{}^{\prime }=\frac{{\mu }_0\cdot I_2{}^{\prime }}{2\cdot \pi \cdot d}=\frac{{\mu }_0\cdot 4\cdot I}{2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot r}=\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

Całkowita indukcja pola magnetycznego w tym punkcie będzie miała postać:

$B{}^{\prime }=B_1{}^{\prime }+B_2{}^{\prime }$  

$B{}^{\prime }=\frac{2\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}+\frac{4\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$  

$B{}^{\prime }=\frac{6\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}$   

Wówczas:

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=\frac{\frac{6\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}{\frac{3\cdot {\mu }_0\cdot I}{\pi \cdot r}}$   

$\frac{B{}^{\prime }}{B}=2\mid \cdot B$  

$B{}^{\prime }=2\cdot B$