Dane:

$v=3\cdot 10^5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$B=0,05\text{T}$  

$d=1\text{cm}=0,01\text{m}$

 

$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest dorysowanie linii pola magnetycznego. Chcemy, aby elektron poruszał się w tym polu ruchem jednorodnym.

Linie pola elektrycznego są pionowe i przebiegają od elektrody dodatniej do ujemnej. Ponieważ mamy do czynienia z elektronem (ładunkiem ujemnym) to siła elektryczna działająca na ten elektron skierowana będzie pionowo i zwrócona do góry. 

Zatem siła Lorentza pochodząca od pola magnetycznego musi mieć kierunek pionowy i zwrot w dół, aby elektron poruszał się w tym obszarze ruchem jednostajnie prostoliniowym. Korzystając z reguły lewej ręki wyznaczamy kierunek i zwrot linii pola magnetycznego. 

Dorysujmy linie jednorodnego pola magnetycznego:

 

$\mathbf{b})$

Zaznaczmy siły działające na elektron:

gdzie:

${\vec{F}}_e$ - siła elektrostatyczna, 

${\vec{F}}_L$ - siła Lorentza. 

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$U=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie napięcia pomiędzy elektrodami. Z poprzednich podpunktów wiemy, że siła elektrostatyczna działająca na elektron równoważy siłę Lorentza. Oznacza to, że wartości tych sił są sobie równe:

$F_e=F_L$

gdzie:

$F_e$ - wartość siły elektrostatycznej, 

$F_L$ - wartość siły Lorentza. 

Dla elektronu wartość siły elektrostatycznej przedstawiamy wzorem:

$F_e=eE$

gdzie:

$e$ - bezwzględna wartość ładunku elektronu (ładunku elementarnego), 

$E$ - natężenie pola elektrycznego. 

Natężenie jednorodnego pola elektrycznego możemy obliczyć z zależności:

$E=\frac{U}{d}$

gdzie:

$U$ - napięcie pomiędzy elektrodami tego pola, 

$d$ - odległość pomiędzy elektrodami tego pola. 

Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę znajdująca się w jednorodnym polu magnetycznym:

${\vec{F}}_L=q\vec{v}\times \vec{B}$

gdzie:

${\vec{F}}_L$ - siła Lorentza,

$q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym,

$\vec{v}$ - prędkość cząstki,

$\vec{B}$ - indukcja pola magnetycznego.

Ponieważ mamy tutaj do czynienia z iloczynem wektorowym to wartość siły Lorentza możemy przedstawić wzorem:

$F_L=qvB\sin \alpha$

gdzie:

$F_L$ - wartość siły Lorentza,

$q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym,

$v$ - wartość prędkości cząstki,

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego,

$\alpha$ - kąt pomiędzy wektorem prędkości, a wektorem indukcji pola.

W naszym przypadku w pole magnetyczne prostopadle do linii pola wpada elektron, czyli:

$F_L=evB\sin 90^{\circ }$

$F_L=evB\cdot 1$

$F_L=evB$

Z powyższych zależności wynika, że napięcie pomiędzy elektrodami pola elektrycznego przedstawić możemy wzorem:

$F_e=F_L$

$\cancel{e}E=\cancel{e}vB$

$\frac{U}{d}=vB|\cdot d$

$U=vBd$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U=3\cdot 10^5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 0,05\text{T}\cdot 0,01\text{m}=$

$=3\cdot 10^5\frac{\xcancel{\text{m}}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 0,05\frac{\text{V}\cdot \cancel{\text{s}}}{\xcancel{{\text{m}}^2}}\cdot 0,01\xcancel{\text{m}}=$

$=0,0015\cdot 10^5\text{V}=150\text{V}$

Odpowiedź: Napięcie pomiędzy elektrodami wynosi 150 V.